niewymierność sumy dwóch liczb niewymiernych

[p_bolger]

Polecenie:
Rozstrzygnąć czy liczba \(\displaystyle{ \sqrt{ \sqrt{5}+3 } + \sqrt{ \sqrt{5}-2 }}\) jest wymierna?

Moje rozwiązanie:
1. Udowodniłam, że \(\displaystyle{ \sqrt{5} \not\in Q}\), a \(\displaystyle{ \left\{ 2,3\right\} \in Q}\).

2. udowodniłam, że wyrażania: \(\displaystyle{ \sqrt{5}+3}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{5}-2}\) są niewymierne.

3.udowodniła, że wyrażenia: \(\displaystyle{ \sqrt{ \sqrt{5}+3 }}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{ \sqrt{5}-2 }}\) są niewymierne.

4. Na koniec kolejny dowód na to, że całość jest niewymierna.

Jednak takie rozumowanie jest trochę na około i zajmuje mnóstwo czasu. Czy da się to zrobić jakoś krócej?

[bartek118]

\(\displaystyle{ \sqrt{ \sqrt{5}+3 } + \sqrt{ \sqrt{5}-2 } = \frac{p}{q} \\
\sqrt{5} + 3 + 2\sqrt{ (\sqrt{5}+3) (\sqrt{5}-2)} + \sqrt{5}-2 = \frac{p^2}{q^2} \\
2 \sqrt{5} + 1 + 2 \sqrt{5 + \sqrt{5} - 6} = \frac{p^2}{q^2} \\
2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{\sqrt{5}-1} = \frac{p^2}{q^2} - 1 \\
\sqrt{5} + \sqrt{\sqrt{5}-1} = \frac{\frac{p^2}{q^2} - 1}{2}}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ w = \frac{\frac{p^2}{q^2} - 1}{2} \in \mathbb{Q}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \sqrt{5} + \sqrt{\sqrt{5}-1} = w \\
\sqrt{\sqrt{5}-1} = w - \sqrt{5} \\
\sqrt{5} - 1 = w^2 + 5 - 2w\sqrt{5} \\
(1+2w)\sqrt{5} = w^2 + 6 \\
\mathbb{Q} \not\ni \sqrt{5} = \frac{w^2 + 6}{1+2w} \in \mathbb{Q}}\)
i sprzeczność

[p_bolger]

Bardzo dziękuję! Twój sposób jest zdecydowanie krótszy i bardziej przejrzysty.

[Ponewor]

Trzeba się jeszcze wytłumaczyć, że \(\displaystyle{ w\neq- \frac{1}{2}}\)

[bartek118]

Z równości:
\(\displaystyle{ \sqrt{5} + \sqrt{\sqrt{5}-1} = w}\)
Wynika, że \(\displaystyle{ w > 0}\)