Proszę o sprawdzenie rozwiązania.
Polecenie: Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{7+ \sqrt{2} }}\) jest liczbą niewymierną.
Rozwiązanie:
Najpierw udowodniłam, że \(\displaystyle{ 7 \in Q}\) oraz że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \not\in Q}\)
Następnie udowodniłam, że suma liczy niewymiernej i wymiernej jest liczbą niewymierną:
Dowód:
Załóżmy, że suma liczby niewymiernej i wymiernej jest liczbą wymierną.
\(\displaystyle{ z \not\in Q , x \in Q , m,n \in Z \wedge n \neq 0}\)
\(\displaystyle{ z+x= \frac{m}{n}}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{m}{n} - x}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{m-xn}{n}}\)
Co jest sprzeczne z założeniami, ponieważ \(\displaystyle{ z \not\in Q}\), a więc nie można jej przedstawić w postaci ułamka zwykłego (mam wrażanie, że to uzasadnienie powinno brzmieć nieco inaczej, ale nie wiem co zmienić). Zatem \(\displaystyle{ z+x \not\in Q}\)
I został ostatni krok.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{7 + \sqrt{2} }}\) jest liczbą wymierną.
Zatem
\(\displaystyle{ \sqrt{7 + \sqrt{2} } = \frac{m}{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ m,n \in N}\)
\(\displaystyle{ 7+ \sqrt{2} = \frac{ m^{2} }{ n^{2} }}\)
Zgodnie z poprzednim dowodem, wyrażenie po lewej stronie nie jest liczbą wymierną.
Czy to wystarczy?
niewymierność sumy dwóch liczb
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
niewymierność sumy dwóch liczb
Jest ok, aczkolwiek myślę, że w tym dowodzie sumy wymiernej i niewymiernej jak doszliśmy do postaci:
\(\displaystyle{ z= \frac{m}{n} - x}\),
to można po prostu napisać, że po prawej mamy różnicę dwóch wymiernych, a odejmowanie jest wewnętrzne w wymiernych więc da nam to wymierną(bez sprowadzania do wspólnego mianownika). Skoro lewa niewymierna i prawa wymierna to sprzeczność.
\(\displaystyle{ z= \frac{m}{n} - x}\),
to można po prostu napisać, że po prawej mamy różnicę dwóch wymiernych, a odejmowanie jest wewnętrzne w wymiernych więc da nam to wymierną(bez sprowadzania do wspólnego mianownika). Skoro lewa niewymierna i prawa wymierna to sprzeczność.
-
- Użytkownik
- Posty: 974
- Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 102 razy
niewymierność sumy dwóch liczb
Można też zauważyć, że zadana liczba jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^4-14 x^2+47}\) i z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych można wykazać, że liczba ta nie jest wymierna.