niewymierność sumy dwóch liczb

[p_bolger]

Proszę o sprawdzenie rozwiązania.

Polecenie: Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{7+ \sqrt{2} }}\) jest liczbą niewymierną.

Rozwiązanie:
Najpierw udowodniłam, że \(\displaystyle{ 7 \in Q}\) oraz że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \not\in Q}\)

Następnie udowodniłam, że suma liczy niewymiernej i wymiernej jest liczbą niewymierną:
Dowód:
Załóżmy, że suma liczby niewymiernej i wymiernej jest liczbą wymierną.

\(\displaystyle{ z \not\in Q , x \in Q , m,n \in Z \wedge n \neq 0}\)

\(\displaystyle{ z+x= \frac{m}{n}}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{m}{n} - x}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{m-xn}{n}}\)

Co jest sprzeczne z założeniami, ponieważ \(\displaystyle{ z \not\in Q}\), a więc nie można jej przedstawić w postaci ułamka zwykłego (mam wrażanie, że to uzasadnienie powinno brzmieć nieco inaczej, ale nie wiem co zmienić). Zatem \(\displaystyle{ z+x \not\in Q}\)


I został ostatni krok.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{7 + \sqrt{2} }}\) jest liczbą wymierną.

Zatem
\(\displaystyle{ \sqrt{7 + \sqrt{2} } = \frac{m}{n}}\)

gdzie \(\displaystyle{ m,n \in N}\)

\(\displaystyle{ 7+ \sqrt{2} = \frac{ m^{2} }{ n^{2} }}\)
Zgodnie z poprzednim dowodem, wyrażenie po lewej stronie nie jest liczbą wymierną.

Czy to wystarczy?

[Dario1]

Jest ok, aczkolwiek myślę, że w tym dowodzie sumy wymiernej i niewymiernej jak doszliśmy do postaci:
\(\displaystyle{ z= \frac{m}{n} - x}\),
to można po prostu napisać, że po prawej mamy różnicę dwóch wymiernych, a odejmowanie jest wewnętrzne w wymiernych więc da nam to wymierną(bez sprowadzania do wspólnego mianownika). Skoro lewa niewymierna i prawa wymierna to sprzeczność.

[AndrzejK]

Można też zauważyć, że zadana liczba jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^4-14 x^2+47}\) i z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych można wykazać, że liczba ta nie jest wymierna.