Udowodnij niewymierność
-
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 11 paź 2014, o 10:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 7 razy
Udowodnij niewymierność
Zapewne chodzi o to, że rozbiłem liczbę, czy ma być tak?
\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 11 paź 2014, o 10:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 7 razy
Udowodnij niewymierność
No tak, i wychodzi, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = 2\sqrt{n+1}}\)
i
\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} - \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = -2\sqrt{n}}\)
Jaka tutaj jest zależność?
\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = 2\sqrt{n+1}}\)
i
\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} - \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = -2\sqrt{n}}\)
Jaka tutaj jest zależność?
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Udowodnij niewymierność
Taka, że jak założysz, że wymierne jest \(\displaystyle{ m=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\), to wychhodzi nam, że wymierne też są liczby \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) (bo \(\displaystyle{ \frac{1}{m}}\) też jest wymierne, bo \(\displaystyle{ m \neq 0}\)). Korzystając z lematu dowiadujemy się, że wtedy \(\displaystyle{ n+1}\) i \(\displaystyle{ n}\) są kwadratami liczb całkowitych.
-
- Użytkownik
- Posty: 93
- Rejestracja: 11 paź 2014, o 10:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 7 razy
Udowodnij niewymierność
I ponownie szacuję te dwie liczby \(\displaystyle{ n+1}\) oraz \(\displaystyle{ n}\) od góry i od dołu, i uzasadniam, że takie liczby całkowite nie istnieją, więc założenie, że są wymierne jest sprzeczne, tak?
A te dwójki przy wynikach działań nic mi nie mieszają?
A te dwójki przy wynikach działań nic mi nie mieszają?
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Udowodnij niewymierność
nie, nie, tu już co innego robimy (bo niby jakie oszacowanie jest dobre?) - po prostu zauważamy, że kolejne kwadraty liczb całkowitych to jedynie \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\), a zatem \(\displaystyle{ n=0}\), a miało tak nie być.
Dwójki nie przeskadzają, bo oczywiście
\(\displaystyle{ 2w \in \QQ \Leftrightarrow w\in\QQ}\)
Dwójki nie przeskadzają, bo oczywiście
\(\displaystyle{ 2w \in \QQ \Leftrightarrow w\in\QQ}\)
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Udowodnij niewymierność
Nie. \(\displaystyle{ m}\) istotnie jest różne od zera (bo jest różnicą ewidentnie różnych liczb) i istotnie korzystamy z tego gdy mówimy, że odwrotność liczby wymiernej różnej od zera jest wymierna.
Ale tutaj mówiłem o tym, że to \(\displaystyle{ n \neq 0}\), a to napisałeś w treści zadania.
Ale tutaj mówiłem o tym, że to \(\displaystyle{ n \neq 0}\), a to napisałeś w treści zadania.