Udowodnij niewymierność

[witek3]

Witam.

Mam do udowodnienia, że poniższe dwa wyrażenia nie są wymierne dla każdych naturalnych "n" z wykluczeniem 0.

1. \(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)} \notin Q}\)

2. \(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \notin Q}\)

W pierwszym doszedłem do czegoś takiego, że:

\(\displaystyle{ s^2(n)(n+1) = p^2}\)

czyli z tego wynika, że wyrażenie po lewej stronie jest podzielne przez dwa (iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych), a więc wyrażenie po prawej stronie także. Czyli liczbę p możemy zapisać w postaci 2k, a z tego wynika, że s także jest podzielne przez dwa, czyli nie możemy tego zapisać w postaci liczby wymiernej. Dobrze?

Z góry dzięki za pomoc.

[bartek118]

Tak, zakładasz oczywiście, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ s}\) są względnie pierwsze.
Drugie - skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia.

[witek3]

No na wzór wpadłem i otrzymałem coś takiego:

\(\displaystyle{ n + 1 - 2 \sqrt{n(n+1} - n = \frac{p^2}{s^2}}\)

czyli po przekształceniach:

\(\displaystyle{ 1 - 2 \sqrt{n(n+1)} = \frac{p^2}{s^2}}\)
\(\displaystyle{ s^2(1 - 2 \sqrt{n(n+1}) = p^2}\)

no i wiem, że \(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1})}\) nie jest liczbą wymierną z powyższego dowodu, ale co z tą jedynką?

[Zahion]

Wracając do Twojego pierwszego postu, skąd wniosek, że liczba \(\displaystyle{ s}\) jest podzielna przez dwa ?
Przecież równie dobrze może zajść \(\displaystyle{ 4|n}\).
Co do drugiego zadania.
Niepotrzebnie mnożysz przez \(\displaystyle{ s^{2}}\), po jednej stronie spróbuj zostawić wyrażenie niewymierne, a po drugiej wyrażenie wymierne.

[witek3]

Hmm, no OK to mam:

\(\displaystyle{ 1 - 2 \sqrt{n(n+1)} = \frac{p^2}{s^2}}\)

i skoro wiem, że ten pierwiastek jest niewymierny to mogę zapisać coś takiego:

\(\displaystyle{ 1 - 2t = \frac{p^2}{s^2}, t \in NW}\)

tylko co z tym dalej?

Co do pierwszego postu w iloczynie dwóch kolejnych liczb naturalnych jest jedna podzielna przez dwa, czyli wyrażenie to dzieli się przez 2, ale równie dobrze może dzielić się przez inną parzystą jak np. 4. Tak to rozumiem.

[Ponewor]

No to sam widzisz, że Twój dowód jest błędny, bo działa tylko gdy założysz, że \(\displaystyle{ 4}\) tego wyrażenia nie dzieli.

Mogę zaproponować inny dowód - oto wskazówka, która przyda się do obu rozwiązań:
Udowodnij, że jeśli liczba całkowita jest kwadratem liczby wymiernej, to jest kwadratem liczby całkowitej.

[witek3]

Mam udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{b}\right)^2 \in Z}\)

?

[Ponewor]

Nie. Masz udowodnić:
\(\displaystyle{ \left(\frac{a}{b}\right)^{2} \in \ZZ \Rightarrow \frac{a}{b} \in \ZZ}\)

[witek3]

Hmm, a jak do tego dojść i w jaki ogólnie sposób podpiąć to pod mój dowód? Jedyne co mi przychodzi na myśl to podniesienie tego ułamka do kwadratu, rozpisanie mianownika i licznika i jakieś słowne uzasadnienie, że skoro całość do kwadratu jest całkowite to całość do potęgi pierwszej także.

[Ponewor]

\(\displaystyle{ \left(\ast\right)}\) Załóż, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze i jeszcze dorzuć założenie potrzebne do dowodu nie wprost.

Tezę zadania 1. dostaniesz łatwo jeśli oszacujesz \(\displaystyle{ n\left(n+1\right)}\) (o którym wiemy z \(\displaystyle{ \left(\ast\right)}\), że musiałoby być kwadratem liczby całkowitej) przez dwa kolejne kwadraty liczb całkowitych.

W zadaniu drugim jak założysz, że ta liczba jest wymierna, to wymierna będzie musiała być też suma tej liczby i jej odwrotności, oraz różnica tej liczby i jej odwrotności.

[witek3]

Ale w jaki sposób mam oszacować to wyrażenie przez kwadraty dwóch liczb całkowitych? Nadal niezbyt rozumiem co wyniknie dla mnie istotnego z udowodnienia tego "lematu" dla mojego pierwiastka z enami.

[Ponewor]

Zakładamy, że \(\displaystyle{ \sqrt{n\left(n+1\right)}}\) jest wymierne, a zatem \(\displaystyle{ n\left(n+1\right)}\) jest kwadratem liczby wymiernej, a z lematu jest też kwadratem liczby całkowitej. Twoje zadanie polega na oszacowaniu \(\displaystyle{ n\left(n+1\right)}\) z dołu i z góry przez dwa kolejne kwadraty liczb całkowitych, stąd będziesz wiedział, że samo być kwadratem nie może - bo tamte były kolejne.

Powiedzmy, że zastanawiamy się czy \(\displaystyle{ \sqrt{21}}\) jest wymierny. Wystarczy, że zauważymy, że \(\displaystyle{ 4^{2}=16<21<25=5^{2}}\) i po sprawie - ale tu po cichu korzystamy z lematu, bo wnioskujemy, że jeśli ten pierwiastek miałby być wymierny, to jest i całkowity.

[witek3]

Coś zaczyna świtać. Czyli chodzi o coś takiego?

Dowód niewprost:
Hip: \(\displaystyle{ \sqrt{n\left(n+1\right)} \in Q}\)
Zał: \(\displaystyle{ n(n+1) \in Z}\)

\(\displaystyle{ n^2 < n(n+1) < (n+1)^2}\)
\(\displaystyle{ n^2 < n^2 + n < n^2 + 2n + 1}\)

czyli nie istnieje taka liczba całkowita i z tego wynika, że jest niewymierna?

[Ponewor]

Twoje założenie nie wprost ma brzmieć, że \(\displaystyle{ \sqrt{n\left(n+1\right)) \in \QQ}\), a stąd i z lematu \(\displaystyle{ n\left(n+1\right)}\) ma być kwadratem liczby całwkotiej, a dalej już tak jak piszesz, dokładnie tak.

Teza zadania drugiego to już tak jak mówiłem - zbadaj sumę tej liczby i jej odwrotności, oraz różnicę tej liczby i jej odwrotności.

[witek3]

No suma mi wyszła:

\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1} } - \frac{1}{ \sqrt{n}} = \frac{n+2}{\sqrt{n+1}} + \frac{n+1}{ \sqrt{n}}}\)

a różnica:

\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} - \frac{1}{\sqrt{n+1} } + \frac{1}{ \sqrt{n}} = \frac{n}{\sqrt{n+1}} + \frac{1 - n}{ \sqrt{n}}}\)

i co z tym dalej?