Udowodnij niewymierność

[Ponewor]

To nie jest poprawnie obliczona odwrotność.

[witek3]

Zapewne chodzi o to, że rozbiłem liczbę, czy ma być tak?

\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}}\)

[Ponewor]

No tak. Ale to musisz policzyć, to jest usunąć niewymierność z mianownika itd.

[witek3]

No tak, i wychodzi, że:

\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = 2\sqrt{n+1}}\)

i

\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} - \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = -2\sqrt{n}}\)

Jaka tutaj jest zależność?

[Ponewor]

Taka, że jak założysz, że wymierne jest \(\displaystyle{ m=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\), to wychhodzi nam, że wymierne też są liczby \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) (bo \(\displaystyle{ \frac{1}{m}}\) też jest wymierne, bo \(\displaystyle{ m \neq 0}\)). Korzystając z lematu dowiadujemy się, że wtedy \(\displaystyle{ n+1}\) i \(\displaystyle{ n}\) są kwadratami liczb całkowitych.

[witek3]

I ponownie szacuję te dwie liczby \(\displaystyle{ n+1}\) oraz \(\displaystyle{ n}\) od góry i od dołu, i uzasadniam, że takie liczby całkowite nie istnieją, więc założenie, że są wymierne jest sprzeczne, tak?

A te dwójki przy wynikach działań nic mi nie mieszają?

[Ponewor]

nie, nie, tu już co innego robimy (bo niby jakie oszacowanie jest dobre?) - po prostu zauważamy, że kolejne kwadraty liczb całkowitych to jedynie \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\), a zatem \(\displaystyle{ n=0}\), a miało tak nie być.

Dwójki nie przeskadzają, bo oczywiście
\(\displaystyle{ 2w \in \QQ \Leftrightarrow w\in\QQ}\)

[witek3]

Nie może być równe 0 bo założyłem przy odwrotności, że m różne od 0, tak?

[Ponewor]

Nie. \(\displaystyle{ m}\) istotnie jest różne od zera (bo jest różnicą ewidentnie różnych liczb) i istotnie korzystamy z tego gdy mówimy, że odwrotność liczby wymiernej różnej od zera jest wymierna.

Ale tutaj mówiłem o tym, że to \(\displaystyle{ n \neq 0}\), a to napisałeś w treści zadania.

[witek3]

Fakt. Pomieszałem. Dziękuje za pomoc, wszystko już jasne