Dowód nierówności - czy można szybciej, prościej?

[lelel555]

Witam,

Dla \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\) (co prawda też w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), ale nie wnikajmy w to teraz) zachodzi relacja \(\displaystyle{ |x+y| \le |x|+|y|}\)

Można tego dowieść nie wprost:
Załóżmy, że jest odwrotnie, czyli \(\displaystyle{ |x+y| > |x|+|y|}\)
Ponieważ obie strony są nieujemne, zatem:
\(\displaystyle{ (|x+y|)^2 > |x|^2+|y|^2+2|x||y| \\
x^2+y^2+2xy>x^2+y^2+2|x||y| \\
xy>|xy|}\)
Sprzeczność, zatem \(\displaystyle{ |x+y| \le |x|+|y|}\)


Ale pytanie, czy można tego dowieść szybciej, czytelniej?

[bartek118]

A to nie jest czytelne? Można geometrycznie to sobie uzasadnić - odległość \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ -y}\) to \(\displaystyle{ |x+y|}\), odległość mierzona po "najkrótszej" drodze. Inną możliwą drogą jest taka - pojechać z \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ 0}\) - odległość \(\displaystyle{ |x|}\) i następnie z \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ -y}\) - odległość \(\displaystyle{ |y|}\), czyli przejechaliśmy drogę \(\displaystyle{ |x|+|y|}\), skoro tamta była krótsza, to ta musi być niekrótsza, tj. \(\displaystyle{ |x+y| \leq |x| + |y|}\)

[lelel555]

No geometrycznie to bardziej machanie rekami. :-/
Tzn jest czytelne, ale mnie może jest szybszy sposób

[Qń]

W Twoim sposobie można zrobić to samo co zrobiłeś, ale dowodząc wprost - tak będzie naturalniej.

A można też tak - korzystając z banalnej nierówności \(\displaystyle{ t\le |t|}\) mamy:
\(\displaystyle{ |x|+|y|\ge x+y}\)
oraz:
\(\displaystyle{ |x|+|y|=|-x|+|-y|\ge -x + (-y) = -(x+y)}\)

A skoro \(\displaystyle{ |x+y|\in \{x+y, -(x+y)\}}\), to stąd od razu dostajemy tezę.

Q.