Wykazać istnienie pewnego rozkładu liczby całkowitej

[Majeskas]

Dowieść, że każda liczba całkowita różna od \(\displaystyle{ 0}\) może być przedstawiona w postaci \(\displaystyle{ (3x-1)(2y-1)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami całkowitymi, i podobnie w postaci \(\displaystyle{ (3x+1)(2y+1)}\).

Domyślam się, że pewnie trzeba rozpatrzyć przypadki w zależności od reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\), ale nie widzę, jaką postać wyjściowej liczby rozważać, żeby znaleźć dla niej taki rozkład.

[Marcinek665]

Wyprodukowałem jakieś takie rozwiązanie:

Dla rozkładu \(\displaystyle{ (3x+1)(2y+1)}\) postępujemy następująco: najpierw rozkładamy daną liczbę na iloczyn potęgi dwójki i liczby nieparzystej (takie rozkłady są dokładnie dwa), czyli \(\displaystyle{ 2^k m}\) lub \(\displaystyle{ (-2^k)(- m)}\).

No i mamy dwie opcje. Jeśli \(\displaystyle{ 2^k}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\), to rozkład mamy podany jak na tacy. Jeśli natomiast \(\displaystyle{ 2^k}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\), to rozważamy drugi z rozkładów \(\displaystyle{ (-2^k)(- m)}\), w którym \(\displaystyle{ -2^k}\) już daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) i rozkład też wychodzi.

Dla rozkładu \(\displaystyle{ (3x-1)(2y-1)}\) robimy identycznie.

Od razu zaznaczę, że przejście na liczby ujemne jest konieczne, bo w przeciwnym razie niemożliwy jest rozkład np liczby \(\displaystyle{ 24}\) na iloczyn postaci \(\displaystyle{ (3x+1)(2y+1)}\)

[Majeskas]

Dzięki, chociaż myślałem, że da się to zrobić bez odwoływania się do rozkładu na czynniki pierwsze. Zadanie pochodzi z samego początku "Teorii liczb" Sierpińskiego, gdzie jeszcze nie wiemy, że każdą liczbę naturalną da się rozłożyć.