Iloczyn liczb równy jeden, suma n liczb większa lub równa n.

[lelel555]

Dane są liczby:
\(\displaystyle{ x_i\in\mathbb{R}\;:\;x_i>0,\;i=1,2,\dots,n}\) oraz \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot ... \cdot x_n=1}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ x_1+x_2+\dots+x_n \ge n}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}}\)

Indukcyjnie. Dla n=2 nierówność jest oczywista. Schodki się zaczynają później.
Mógłby mi ktoś to wytłumaczyć?

[Premislav]

Indukcja jest tu trochę na siłę.
Zauważ, że \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot ... \cdot x_n= \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot ... \cdot x_n}}\)
(bo \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot ... \cdot x_n=1}\)), a następnie zapisz nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb \(\displaystyle{ x _{1},x _{2}...x _{n}}\)

[lelel555]

Tak, ale nastepne zadanie mam odwrotne - wiedzac to udowodnić zaleznosc miedzy srednimi :/

[Premislav]

To takie buty... A miałeś może coś o wypukłości i wklęsłości funkcji? Bo jak nie, to chyba nie bardzo mam pomysł, poza ewidentnie blefiarskim, z którego równie dobrze można by wykazać oczywistą nieprawdę.
Nieprzystępny ten MIM.

[lelel555]

tzn ja wiem, że są funkcje wklęsłe, wypukłe, itd. ale wykładowców z MiNI to nie przekona
jestem dopiero na pierwszym roku i to się na pewno da zrobić za pomocą indukcji, ale pytanie jak

[Premislav]

Indukcją to zdecydowanie nie umiem, niby można łatwo zażądać, by żadne \(\displaystyle{ x _{i}}\) nie było równe \(\displaystyle{ 1}\), bo w przeciwnym wypadku zadanie się trywializuje dzięki założeniu indukcyjnemu, no ale nic więcej.
Podejdę do tego trochę inaczej, jak chcesz, to wykorzystaj, jak nie, to nie:
na mocy założeń jest \(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} \cdot ... \cdot x _{n}=1}\). Wobec dodatniości \(\displaystyle{ x _{i}}\) mogę tę równość zlogarytmować stronami, otrzymując \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \ln x _{i}=0}\). Następnie dzielę otrzymaną równość stronami przez \(\displaystyle{ n}\), co daje też \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \ln x _{i}=0}\). Teraz powołajmy się na oczywistą nierówność \(\displaystyle{ \ln x \le x-1}\). Szacując w ten sposób każdy składnik lewej strony z osobna i wykorzystując przechodniość nierówności w \(\displaystyle{ \RR}\), uzyskuję
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n}x _{i} \ge 1}\). Mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ n}\), dostajesz to, co trzeba.
Jest blef??? (serio pytam, ja jestem słabiutki z matmy)

[lelel555]

hm... no działa.
Oszustwa nie widzę, ale nie mam pojęcia, skąd \(\displaystyle{ \ln (x) \le x-1}\)
można to jakoś udowodnić "po ludzku" ?

-- 21 paź 2014, o 19:57 --

tzn widzę, że można sprawdzić dla pewnego x, a potem pokazać, że ln jest concave downwards, ale nie na pierwszym roku

[Qń]

Drugi krok indukcyjny:

Niech \(\displaystyle{ x_1x_2\ldots x_nx_{n+1}=1}\). Oczywiście wśród liczb \(\displaystyle{ x_i}\) musi być co najmniej jedna nie większa niż \(\displaystyle{ 1}\) i co najmniej jedna nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\). Bez utraty ogólności możemy przyjąć, że są to \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1}}\), czyli \(\displaystyle{ x_n\le 1}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1}\ge 1}\). Stąd \(\displaystyle{ (1-x_n)(x_{n+1}-1)\ge 0}\), a stąd łatwo otrzymać, że \(\displaystyle{ x_{n}x_{n+1}\le x_n+x_{n+1}-1}\).

Jeśli w wyjściowej równości dodamy nawiasy:
\(\displaystyle{ x_1x_2\ldots (x_nx_{n+1})=1}\)
to możemy potraktować ją jako iloczyn \(\displaystyle{ n}\) liczb, czyli na mocy założenia indukcyjnego mamy:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+ \ldots +x_{n-1} + x_nx_{n+1}\ge n}\).

A zatem:
\(\displaystyle{ n\le x_1+x_2+ \ldots +x_{n-1} + x_nx_{n+1}\le x_1+x_2+ \ldots +x_{n-1} +x_n+x_{n+1}-1}\)
i stąd oczywiście:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+ \ldots +x_{n-1} +x_n+x_{n+1}\ge n+1}\)
czego właśnie chcieliśmy.

Q.

[a4karo]

Drugi krok indukcyjny:

Niech \(\displaystyle{ x_1x_2\ldots x_nx_{n+1}=1}\). Oczywiście wśród liczb \(\displaystyle{ x_i}\) musi być co najmniej jedna nie większa niż \(\displaystyle{ 1}\) i co najmniej jedna nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\). Bez utraty ogólności możemy przyjąć, że są to \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1}}\), czyli \(\displaystyle{ x_n\le 1}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1}\ge 1}\). Stąd \(\displaystyle{ (1-x_n)(x_{n+1}-1)\ge 0}\), a stąd łatwo otrzymać, że \(\displaystyle{ x_{n}x_{n+1}\le x_n+x_{n+1}-1}\).

Jeśli w wyjściowej równości dodamy nawiasy:
\(\displaystyle{ x_1x_2\ldots (x_nx_{n+1})=1}\)
to możemy potraktować ją jako iloczyn \(\displaystyle{ n}\) liczb, czyli na mocy założenia indukcyjnego mamy:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+ \ldots +x_{n-1} + x_nx_{n+1}\ge n}\).

A zatem:
\(\displaystyle{ n\le x_1+x_2+ \ldots +x_{n-1} + x_nx_{n+1}\le x_1+x_2+ \ldots +x_{n-1} +x_n+x_{n+1}-1}\)
i stąd oczywiście:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+ \ldots +x_{n-1} +x_n+x_{n+1}\le n+1}\)
czego właśnie chcieliśmy.

Q.

Z tym, że ta ostatnia nierównośc oczywiście w drugą stronę