Udowodnij że dla dowolnych dodatnich a,b,c zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ 9\left( a^{3}+ b^{3}+ c^{3} \right) \ge \left(a+b+c \right)^{3}}\)
nierownosc z trzema liczbami
-
szw1710
nierownosc z trzema liczbami
Nierówność wynika natychmiast z nierówności Jensena zastosowanej do funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\), która jest wypukła na półosi dodatniej.
Wynika stąd też, że jeśli \(\displaystyle{ a,b,c<0}\), to nierówność odwraca się. Wystarczy teraz rozważyć tę samą funkcję, która jest wklęsła na półosi ujemnej.
Łatwo możesz podać uogólnienie: jeśli \(\displaystyle{ n,k\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n>0}\), to \(\displaystyle{ (a_1+\dots+a_n)^k\le\dots}\) (napisz prawą stronę tej nierówności).
Wynika stąd też, że jeśli \(\displaystyle{ a,b,c<0}\), to nierówność odwraca się. Wystarczy teraz rozważyć tę samą funkcję, która jest wklęsła na półosi ujemnej.
Łatwo możesz podać uogólnienie: jeśli \(\displaystyle{ n,k\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n>0}\), to \(\displaystyle{ (a_1+\dots+a_n)^k\le\dots}\) (napisz prawą stronę tej nierówności).
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
nierownosc z trzema liczbami
To ja znów zaproponuję Hoeldera lub AM-GM.
\(\displaystyle{ (1+1+1)(1+1+1)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(\sqrt[3]{a^3\cdot 1\cdot 1}+\sqrt[3]{b^3\cdot 1\cdot 1}+\sqrt[3]{c^3\cdot 1\cdot 1}\right)^3}\)
\(\displaystyle{ 3=\sum\left(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\ge 3\sum\sqrt[3]{\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}}}\)
Jeszcze jest np. coś takiego, jak nierówność średnich potęgowych, ale nie lubię tych wyższych.
\(\displaystyle{ (1+1+1)(1+1+1)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(\sqrt[3]{a^3\cdot 1\cdot 1}+\sqrt[3]{b^3\cdot 1\cdot 1}+\sqrt[3]{c^3\cdot 1\cdot 1}\right)^3}\)
\(\displaystyle{ 3=\sum\left(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\ge 3\sum\sqrt[3]{\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}}}\)
Jeszcze jest np. coś takiego, jak nierówność średnich potęgowych, ale nie lubię tych wyższych.
-
szw1710
nierownosc z trzema liczbami
Wiele jest sposobów udowodnienia omawianej nierówności. Wszystkie jednak mają w podtekście wypukłość jakiejś funkcji. Funkcje wypukłe odgrywają w teorii nierówności bardzo ważną rolę.
To, co przywołujesz, czyli nierówności między średnimi potęgowymi różnych rzędów, jest intensywnie badane przez osoby związane z analizą wypukłą. Duży ośrodek nierównościowy jest w Debreczynie na Węgrzech (Daróczy, Losonczi, Pales, Maksa i in.) , w Zagrzebiu w Chorwacji (Pecarić i in.), w Rumunii (Toader i in.). W Polsce jednym z najwybitniejszych specjalistów w teorii średnich (i nie tylko) jest Pan prof. dr hab. Janusz Matkowski pracujący obecnie w Zielonej Górze.
Oczywiście nie bada się średnich potęgowych - tam już dużo zbadano. Są średnie jeszcze ogólniejsze, gdzie potęgowe są podklasą. Można tu mówić o średnich quasiarytmetycznych, średnich Stolarskiego, średnich Bajraktarevića, średnich Lagrange'owskich, średnich Cauchy'ego itd. itp. Jest bardzo bogata literatura na ten temat.
To, co przywołujesz, czyli nierówności między średnimi potęgowymi różnych rzędów, jest intensywnie badane przez osoby związane z analizą wypukłą. Duży ośrodek nierównościowy jest w Debreczynie na Węgrzech (Daróczy, Losonczi, Pales, Maksa i in.) , w Zagrzebiu w Chorwacji (Pecarić i in.), w Rumunii (Toader i in.). W Polsce jednym z najwybitniejszych specjalistów w teorii średnich (i nie tylko) jest Pan prof. dr hab. Janusz Matkowski pracujący obecnie w Zielonej Górze.
Oczywiście nie bada się średnich potęgowych - tam już dużo zbadano. Są średnie jeszcze ogólniejsze, gdzie potęgowe są podklasą. Można tu mówić o średnich quasiarytmetycznych, średnich Stolarskiego, średnich Bajraktarevića, średnich Lagrange'owskich, średnich Cauchy'ego itd. itp. Jest bardzo bogata literatura na ten temat.