Ilość cyfr liczby

[Chewbacca97]

Liczby \(\displaystyle{ 2^{2009}}\) i \(\displaystyle{ 5^{2009}}\) zapisano w postaci dziesiętnej jedna za drugą tworząc jedną nową liczbę. Ile cyfr ma ta liczba?

Sprawdziłem jak to będzie dla:
1. \(\displaystyle{ 2^1}\) i \(\displaystyle{ 5^1}\), nowa liczba to \(\displaystyle{ 25}\), czyli ilość cyfr: \(\displaystyle{ 2}\).
2. \(\displaystyle{ 2^2}\) i \(\displaystyle{ 5^2}\), nowa liczba to \(\displaystyle{ 425}\), czyli ilość cyfr: \(\displaystyle{ 3}\).
3. \(\displaystyle{ 2^3}\) i \(\displaystyle{ 5^3}\), nowa liczba to \(\displaystyle{ 8125}\), czyli ilość cyfr: \(\displaystyle{ 4}\).
4. \(\displaystyle{ 2^4}\) i \(\displaystyle{ 5^4}\), nowa liczba to \(\displaystyle{ 16625}\), czyli ilość cyfr: \(\displaystyle{ 5}\).

Stąd wysunąłem przypuszczenie, że dla \(\displaystyle{ 2^{2009}}\) i \(\displaystyle{ 5^{2009}}\) ilość cyfr będzie wynosiła: \(\displaystyle{ 2009 + 1 = 2010}\).

Jednak nie wiem, czy jest to wystarczający dowód. I czy taki zapis, którego użyłem jest poprawny.

[szw1710]

Znasz się na logarytmach? Logarytm dziesiętny informuje nas o liczbie cyfr. Rozwiązanie metodą brute force, ale szybkie i skuteczne

Ukryta treść:    

Liczby od \(\displaystyle{ 100}\) do \(\displaystyle{ 999}\) mają część całkowitą logarytmu dziesiętnego równą \(\displaystyle{ 2}\). Uogólnij tę obserwację.

[Chewbacca97]

A jak wprowadzić do obliczeń logarytm dziesiętny? Wiem, że zapisano liczbę \(\displaystyle{ 2^{2009}}\) a obok niej \(\displaystyle{ 5^{2009}}\) w postaci dziesiętnej. Co do tego mają logarytmy?

Myślałem jeszcze o pomnożeniu \(\displaystyle{ 2^{2009} \cdot 5^{2009} = 10^{2009}}\). Wiadomo, że liczba \(\displaystyle{ 10^{2009}}\) składa się z \(\displaystyle{ 2010}\) liczb. Wtedy wynik by się chyba zgadzał. Ale dlaczego pomnożyłem te liczby? W treści zadania nie jest nic powiedziane o ich iloczynie, a jedynie że zapisano je obok siebie.

[Zahion]

A jak obliczysz liczbę cyfr liczby \(\displaystyle{ 2^{2009}}\) a potem liczbę cyfr \(\displaystyle{ 5^{2009}}\) i to zsumujesz to nie dostaniesz tego, co szukasz ?

[Chewbacca97]

A jak policzyć liczbę cyfr liczby?

[Zahion]

szw1710, dał Ci wskazówkę, natomiast
113641.htm

[Chewbacca97]

Czyli \(\displaystyle{ \log _{10}2^{2009} = 2009 \cdot \log _{10}2}\). I teraz gdy wyliczę logarytm, będę wiedział z ilu cyfr składa się \(\displaystyle{ 2^{2009}}\)?

\(\displaystyle{ [2009 \cdot \log _{10}2] + 1 = [2009 \cdot 0,3010] + 1 = [604,709] + 1 = 605 \\

[2009 \cdot \log _{10}5] + 1 = [2009 \cdot 0,6990] + 1 = [1404,291] + 1 = 1405}\)

Ilość cyfr to: \(\displaystyle{ 605 + 1405 = 2010}\).

Ale dlaczego dodawałem wyżej "1"? I jak do tego wszystkiego ma się podpowiedź szw1710?

[szw1710]

I jak do tego wszystkiego ma się podpowiedź szw1710?

Zasadniczo się ma. Popatrz na ukryty tekst mojej podpowiedzi i sobie porównaj. Na razie zrobiłeś zadanie mechanicznie. Przestudiuj troszkę logarytmy i nabądź zrozumienia dogłębnego.

[Ponewor]

No nie W tym zadaniu zdecydowanie nie chodziło o posłużenie się logarytmem, nie bez przyczyny dali nam takie liczby, a nie inne.

Niech \(\displaystyle{ 10^{k} > 2^{2009} > 10^{k-1}}\) - czyli \(\displaystyle{ 2^{2009}}\) ma \(\displaystyle{ k}\) cyfr w zapisie dziesiętnym.

Posługując się powyższym oszacowaniem i równością \(\displaystyle{ 5^{2009}=\frac{10^{2009}}{2^{2009}}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 10^{2010-k}=\frac{10^{2009}}{10^{k-1}}>\frac{10^{2009}}{2^{2009}} > \frac{10^{2009}}{10^{k}}=10^{2009-k}}\)
a zatem \(\displaystyle{ 5^{2009}}\) ma \(\displaystyle{ 2010-k}\) cyfr w zapisie dziesiętnym.

Liczba otrzymana ze sklejenia liczb \(\displaystyle{ 2^{2009}}\) oraz \(\displaystyle{ 5^{2009}}\) ma \(\displaystyle{ k+2010-k=2010}\) cyfr w zapisie dziesiętnym.

[szw1710]

Bardzo fajne rozwiązanie. Przyznasz jednak, że między wierszami te logarytmy jednak siedzą

Między wierszami czytam też co innego: piszedz dali nam. Czyżbyś rozwiązywał to zadanie na olimpiadzie?

[Ponewor]

Nie Na olimpiadę pewnie za łatwe.
Nam, to jest tym którzy mają przyjemność rozwiązywać to zadanie. Również i Pan należy do tej zbiorowości.

[szw1710]

Tak - olimpijczycy logarytmy znają. Ja nie byłem olimpijczykiem, ale też znam Moja metoda wymagała tylko pół sekundy zastanowienia, więc na pewno na olimpiadę za łatwe, rzekłbym trywialne.

[Chewbacca97]

Zadanie faktycznie nie pochodzi z olimpiady, lecz z innego konkursu matematycznego. Nad rozwiązaniem szw1710 muszę jeszcze chwilę posiedzieć i zaprzyjaźnić się z logarytmami.

[szw1710]

Skoro wykładniki potęg to \(\displaystyle{ 2009}\), mniemam, że konkurs jest stary, nie bieżący. Zamieszczanie zadań z bieżących konkursów jest niedozwolone. Najlepiej napisz jaki to konkurs i podaj jego stronę www (jeśli istnieje).

[Chewbacca97]

Wiem, nie umieściłbym zadania z trwającej edycji konkursu. Zadanie pochodzi ze Śląskiego Konkursu Matematycznego, dokładniej z zawodów finałowych 2008/2009. Co do strony konkursu: .