Udowodnij ze równanie \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1997}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych .
Natrafiłem na takie zadanie i nie wiem jak je ruszyć .
[zad]Udowodnij ze równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
[zad]Udowodnij ze równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań
Dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=n^2+n-500\\
y=2n+1\\
z=n^2+n-498\end{cases}}\)
To rozwiązanie można nietrudno odgadnąć, bo równanie jest równoważne:
\(\displaystyle{ y^2-1997= (z-x)(z+x)}\)
Po prawej stronie mamy iloczyn liczb tej samej parzystości, wystarczy więc dobrać \(\displaystyle{ y}\) tak, żeby lewa strona też rozkładała się na iloczyn liczb tej samej parzystości. I z uwagi na to, że \(\displaystyle{ 1997}\) jest postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) okazuje się, że wystarczy by \(\displaystyle{ y}\) było nieparzyste.
Q.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=n^2+n-500\\
y=2n+1\\
z=n^2+n-498\end{cases}}\)
To rozwiązanie można nietrudno odgadnąć, bo równanie jest równoważne:
\(\displaystyle{ y^2-1997= (z-x)(z+x)}\)
Po prawej stronie mamy iloczyn liczb tej samej parzystości, wystarczy więc dobrać \(\displaystyle{ y}\) tak, żeby lewa strona też rozkładała się na iloczyn liczb tej samej parzystości. I z uwagi na to, że \(\displaystyle{ 1997}\) jest postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) okazuje się, że wystarczy by \(\displaystyle{ y}\) było nieparzyste.
Q.