znaleźć wszystkie liczby naturalne x

[stec007]

znaleźć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ x}\) , mniejsze od \(\displaystyle{ 6}\) takie, że\(\displaystyle{ 4x \equiv 3 \pmod{6}}\)

[bakala12]

Masz skończoną liczbę przypadków do sprawdzenia, więc wstawiamy po kolei za \(\displaystyle{ x=0,1,2,3,4,5}\) i patrzymy czy nasza kongruencja jest prawdziwa.

[stec007]

a można to rozwiązać chińskim twierdzeniem o resztach ? ponieważ zrobiłem tak że podstawiałem po kolei liczby od 0 do 5 i niby źle było .

[bakala12]

Można, ale trzeba to rozbić na dwie kongruencje, jedna będzie modulo 2, druga modulo 3. I stosujemy dopiero chińskie twierdzenie o resztach.

[stec007]

Można, ale trzeba to rozbić na dwie kongruencje, jedna będzie modulo 2, druga modulo 3. I stosujemy dopiero chińskie twierdzenie o resztach.

\(\displaystyle{ 4x \equiv 3 \pmod{3}\\
4x \equiv 3 \pmod{2}}\)

tak ?

[yorgin]

a można to rozwiązać chińskim twierdzeniem o resztach ?

Po co? Z "armaty" w zadanie, gdzie wystarczy podstawić słownie sześć różnych liczb?

ponieważ zrobiłem tak że podstawiałem po kolei liczby od 0 do 5 i niby źle było .

Co to znaczy "źle"?

Ta kongruencja nie ma w ogóle rozwiązania, to swoją drogą. Jest ona równoważna stwierdzeniu, że

\(\displaystyle{ 4x=3(2k+1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\),

ale, prawa strona jest nieparzysta, a lewa parzysta.

[stec007]

to znaczy źle , że rozwiązałem to zadanie podstawiając liczby od 0 do 5 i wyszło mi że nie ma rozwiązania
a profesor twierdzi, że to jest źle zrobione więc zastanawiam się jak powinno być dobrze .

[yorgin]

Można to zrobić na kilka sposobów.

1. Podstawić liczby od zera do pięciu, gdyż jest tylko skończenie wiele przypadków i wszystkie można rozważyć w skończonej ilości linijek.

2. Zastosować (?) twierdzenie chińskie (da się? Nie pamiętam tego twierdzenia, nigdy z niego nie robię kongrurencji).

3. Pokazać, że nie ma rozwiązań tak, jak ja to wyżej napisałem.

4. Jakikolwiek inny, sensowny i poprawny sposób.

Każdy z tych sposobów powinien być tak samo dobry, nie widzę powodu do stwierdzenia, że jest coś źle.

[bakala12]

\(\displaystyle{ 4x \equiv 3 \pmod{3}\\
4x \equiv 3 \pmod{2}}\)

Tak. Co wynika z drugiej kongruencji? Tutaj już mamy sprzeczność. A jak już bardzo bardzo chcemy komplikować sobie życie to wstawmy \(\displaystyle{ t=4x}\) i wyliczmy rozwiązanie z chińskiego twierdzenia o resztach, aczkolwiek jak zauważył słusznie yorgin jest to niezbyt sensowne i zdecydowanie niepotrzebne komplikowanie sprawy. Ale można.