Witam mam pewne zadanie, w którym dochodzę do momentu:
Liczby a i b są całkowite, różne od 0.
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\) + \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) jest liczbą całkowitą
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika doszedłem do wniosku, że:
a|b
b|a^2
Widać, że te 2 warunki spełniają pary liczb (1,1) ; (1,-1) ; (-1,-1) ; (2,4) ; (-2,-4) ; (2;-4)
Wydaje mi się, że są to jedyne rozwiązania, lecz nie mam pojęcia jak to udowodnić
Podzielność dwóch liczb całkowitych
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Podzielność dwóch liczb całkowitych
Skoro \(\displaystyle{ a|b}\) to dla pewnego \(\displaystyle{ d}\) całkowitego możemy zapisać, że \(\displaystyle{ ad = b}\) a wtedy \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{1}{a} = \frac{a^{2}+b}{ab}= \frac{a^{2}+ad}{a^{2}d}= \frac{a+d}{ad}}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ a|d}\) oraz \(\displaystyle{ d|a}\) więc \(\displaystyle{ a = d}\). Spróbuj dokończyć , jak coś to sprawdzę.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Podzielność dwóch liczb całkowitych
Niech \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{a}{b}=k}\). Wtedy \(\displaystyle{ b+a^2=kab}\). Wiesz, że dla pewnego \(\displaystyle{ m\in\NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ a^2=mb}\). Stąd \(\displaystyle{ 1+m=ka}\).
\(\displaystyle{ k^2mb=k^2a^2=(1+m)^2}\), skąd dostajemy równanie na \(\displaystyle{ m}\):
\(\displaystyle{ m^2+(2-k^2b^2)m+1=0}\).
To równanie ma rozwiązanie w liczbach całkowitych tylko gdy \(\displaystyle{ 2-k^2b^2=\pm 2}\). Dalej idzie prosto.
\(\displaystyle{ k^2mb=k^2a^2=(1+m)^2}\), skąd dostajemy równanie na \(\displaystyle{ m}\):
\(\displaystyle{ m^2+(2-k^2b^2)m+1=0}\).
To równanie ma rozwiązanie w liczbach całkowitych tylko gdy \(\displaystyle{ 2-k^2b^2=\pm 2}\). Dalej idzie prosto.