Podzielność dwóch liczb całkowitych

[mrscresh]

Witam mam pewne zadanie, w którym dochodzę do momentu:
Liczby a i b są całkowite, różne od 0.

\(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\) + \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) jest liczbą całkowitą

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika doszedłem do wniosku, że:
a|b
b|a^2


Widać, że te 2 warunki spełniają pary liczb (1,1) ; (1,-1) ; (-1,-1) ; (2,4) ; (-2,-4) ; (2;-4)
Wydaje mi się, że są to jedyne rozwiązania, lecz nie mam pojęcia jak to udowodnić

[Zahion]

Skoro \(\displaystyle{ a|b}\) to dla pewnego \(\displaystyle{ d}\) całkowitego możemy zapisać, że \(\displaystyle{ ad = b}\) a wtedy \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{1}{a} = \frac{a^{2}+b}{ab}= \frac{a^{2}+ad}{a^{2}d}= \frac{a+d}{ad}}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ a|d}\) oraz \(\displaystyle{ d|a}\) więc \(\displaystyle{ a = d}\). Spróbuj dokończyć , jak coś to sprawdzę.

[a4karo]

Niech \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{a}{b}=k}\). Wtedy \(\displaystyle{ b+a^2=kab}\). Wiesz, że dla pewnego \(\displaystyle{ m\in\NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ a^2=mb}\). Stąd \(\displaystyle{ 1+m=ka}\).

\(\displaystyle{ k^2mb=k^2a^2=(1+m)^2}\), skąd dostajemy równanie na \(\displaystyle{ m}\):
\(\displaystyle{ m^2+(2-k^2b^2)m+1=0}\).

To równanie ma rozwiązanie w liczbach całkowitych tylko gdy \(\displaystyle{ 2-k^2b^2=\pm 2}\). Dalej idzie prosto.

[mrscresh]

Wielki dzięki Panowie.
Już dokończyłem rozwiązanie