Dowód podzielności przez 6 i równość

[Physicmat]

Witam, mam problem z 2 zadaniami.
1. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n podana liczba jest podzielna przez 6.
\(\displaystyle{ n(n^{2}-7)}\)
rozwijam wzór skróconego mnożenia i mam \(\displaystyle{ n(n- \sqrt{7})(n+ \sqrt{7})}\) i co dalej?

2.Udowodnij że jeżeli dla licz dodatnich a i b prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ \frac{a}{b+1} = \frac{b}{a+1}}\), to \(\displaystyle{ \frac{(a+b) ^{2} }{ a^{2} } + \frac{ (a+b)^{2} }{b^{2} }=8}\)

Proszę o pomoc i wskazówki.

[Zahion]

\(\displaystyle{ n(n^{2}-7)=n^{3} - 7n = n^{3} - n - 6n = (n-1)n(n+1) - 6n}\) teraz udowodnij podzielność.
Add. 2 ?
To co ?

[Physicmat]

1 zadanie zrobione, 2 poprawiłem

[Zahion]

Co wynika z pierwszej równości ? Tj. \(\displaystyle{ \frac{a}{b+1} = \frac{b}{a+1}}\) ( \(\displaystyle{ a^{2}+a=b^{2}+b}\) przekształć odpowiednio )

[Physicmat]

Strzelam, że a=b, bo to by sie zgadzało. Tylko jakoś nie moge tego tak przekształcic.

[Zahion]

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2} + (a-b) = (a-b)(a+b) + (a-b) = (a-b)(a+b+1) = 0}\). Dwa przypadki otrzymujesz.
Nadto z tego warunku mamy, że \(\displaystyle{ a+b = -1}\) ale czy liczby \(\displaystyle{ a = -2, b=1}\) spełniają ten warunek ?

[Physicmat]

Czyli 2 przypadek odrzucam bo a,b to liczby naturalne dodatnie tak? Z 1 przypadku wychodzi, dzięki.

[Zahion]

Tak