Ilość liczb pierwszych

[karolex123]

Ostatnio na lekcji miałem do czynienia z dowodem nie wprost. Nauczyciel mówił, że korzystając z tej metody można łatwo wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Jak wygląda taki dowód? Czy można to równie łatwo dowieść wprost?

[Zahion]

Załóżmy, że istnieje skończona ilość liczb pierwszych, oznaczmy je jako \(\displaystyle{ p _{1}, ... ,p _{n}}\), \(\displaystyle{ n \in N}\). Rozpatrzmy liczbę \(\displaystyle{ M = p _{1}\cdot p _{2} \cdot...\cdot p _{n} + 1}\). Zauważmy, że liczba ta nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych \(\displaystyle{ p _{1}, ... , p_{n}}\), stąd istnieje taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) różna od liczb \(\displaystyle{ p _{1}, ... , p_{n}}\) dzieląca liczbę \(\displaystyle{ M}\) ( wynika to z tego, że każda liczba posiada co najmniej jeden dzielnik, będący liczbą pierwszą.)
Wprost
Wystarczy dowieść twierdzenia : dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje liczba pierwsza\(\displaystyle{ p}\) większa od \(\displaystyle{ n}\).
Dowód jest łatwy. Niech \(\displaystyle{ m =n! + 1}\), wtedy \(\displaystyle{ m > 1}\), ma więc dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\), który musi być większy od \(\displaystyle{ n}\), co wynika z reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\).
Jeśli znamy nieskończony ciąg liczb naturalnych parami względnie pierwszych, to wybierając po dzielniku pierwszym każdego wyrazu tego ciągu otrzymujemy nieskończony ciąg parami różnych liczb pierwszych.
Dodam jeszcze, że dowody te są bardzo popularne i mimo swojej prostej formy niekoniecznie są proste .

[karolex123]

Dzięki wielkie!