Różne zadania.

[archimedes]

Wiadomo, że jeżeli trzy liczby całkowite nie są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), to muszą być postaci \(\displaystyle{ 3n + 1}\) lub \(\displaystyle{ 3n + 2 , n \in C}\). Rozpatrując wszystkie możliwe konfiguracje, mamy następujące iloczyny:
\(\displaystyle{ (3n+1) ^{3} = 27n ^{3} + 27n ^{2} + 9n + 1 \\
(3n+2) ^{3}= 27n ^{3} + 54n ^{2} + 18n + 1 \\
(3n+1) ^{2}(3n+2) = 27n ^{3} + 36n ^{2} + 15n + 2 \\
(3n+1)(3n+2) ^{2} = 27n ^{3} + 45n ^{2} + 24n + 4}\)

W każdym przypadku zostaje nam tylko wyraz wolny, który nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\), stąd iloczyn również nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\). Analogicznie można wykazać dla podzielności przez \(\displaystyle{ 4}\) Lub prościej, znaleźć trójkę, która obala to założenie, np. \(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 25 = 100}\)

[mich12]

Dzięki!
Czy w przypadku czwórki będą to liczby:
\(\displaystyle{ \left( 4n + 1\right) ; \left( 4n + 2\right) ; \left( 4n + 3\right) ?}\)
A możliwości iloczynów aż 9 jeśli dobrze liczę?

[archimedes]

Tak, ale tutaj proszą tylko o przykład, poza tym znajdując jedną taką trójkę już udowadniasz, że nie jest to prawdą i koniec Poza tym w sumie nawet nie trzeba bawić się w iloczyny, wiadomo, że każda liczba podzielna przez 4 jest postaci \(\displaystyle{ 4n, n \in C}\), a wiec tak naprawdę \(\displaystyle{ 2*2*n}\). 2 jest niepodzielna, a n może być dowolne, wystarczy wybrać jakiekolwiek niepodzielne przez 4 i już mamy dowód, że można wymnożyć 3 niepodzielne i otrzymać podzielną.

[mich12]

Masz rację, nie ma co być nadgorliwym w tym zadaniu.
Tylko zastanawia mnie to:
\(\displaystyle{ \left( 4n + 1\right)^{3} = 64n ^{3} + 48 n ^{2}+ 12n + 1}\)
Z tego wychodzi, że ta liczba nadal nie jest podzielna przez 4. Czyli może być taka sytuacja, że mnożąc 3 niepodzielne przez 4 nadal otrzymujemy niepodzielną przez 4 ?

[archimedes]

Oczywiście, że może, weź np 2, 3, 5. Rozpatrzyłeś tutaj tylko jeden możliwy przypadek - liczb które dają resztę z dzielenia przez 4 równą 1, a masz jeszcze pozostałe.

[bakala12]

Jeszcze inaczej 3. Skoro liczba ma mieć 7 dzielników (czyli nieparzystą ilość) to jest kwadratem liczby całkowitej. Więc podzielniki pierwsze wchodzą w rozkład naszej liczby z wykładnikami parzystymi, czyli nasza liczba jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 19^{2} \cdot 23^{2}=190969}\).