Różne zadania.

[mich12]

zadanie 1.
Wyznacz wartość \(\displaystyle{ a}\) tak aby wynik wyrażenia \(\displaystyle{ \left( 5\sqrt{10} - 10 \sqrt{5} \right)^{2} + \left( a + \sqrt{2}\right)^{2}}\) był liczbą całkowitą. Dla wyznaczonego \(\displaystyle{ a}\) oblicz wartość wyrażenia.

zadanie 2.
Nie istnieje wielokąt którego liczba przekątnych jest równa:
A. 20
B. 45
C. 945
D. 1080

zadanie 3.
Trzycyfrowa liczba naturalna ma dokładnie 7 dzielników naturalnych. Wśród nich 19 i 23. Znajdź tę liczbę.

zadanie 4.
Znajdź wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe które spełniają jednocześnie warunki: przy dzieleniu przez 2 dają resztę 1, przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2, przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3, przy dzieleniu przez 5 dają resztę 4. Podaj kwadrat sumy wszystkich cyfr znalezionych liczb.

Z góry dzięki za pomoc

[szw1710]

2. Mamy dowolny \(\displaystyle{ n}\)-kąt. Ile on ma przekątnych?
3. Pozostałe dzielniki nie mogą być za duże wobec \(\displaystyle{ 19\cdot 23=437}\). A czy w ogóle da się spełnić to założenie?

[archimedes]

2)

Rozpisz równanie na ilość przekątnych w wielokącie i rozwiąż je dla liczby wierzchołków, tak jak normalne równianie kwadratowe:

\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)

Po przekształceniach:

\(\displaystyle{ n^{2}-3n-2m = 0}\)

gdzie n - liczba boków, m - liczba przekątnych. Po wyznaczeniu n podstaw i sprawdź, czy wyniki mają sens dla każdego przykładu (czy są całkowite). Reszta później

[mich12]

szw1710 cytuję odpowiedź do zadania 3: "\(\displaystyle{ 874 (tylko 19 \cdot 23 \cdot 2)}\)"

archimedes, właśnie w zadaniu 2 robiłem podobnie, tylko że robiłem błędy rachunkowe, teraz to widzę. Będzie to odpowiedź B. \(\displaystyle{ \Delta}\) w tym przykładzie nie jest liczbą naturalną, natomiast w pozostałych przykładach jest naturalną. Odpowiedź można wskazać też właśnie na tej podstawie. Dzięki

[archimedes]

Co do 1), to po przekształceniach (wymnożeniu wszystkiego) dojdziemy do:

\(\displaystyle{ 752 + (2a-500) \sqrt{2} + a^{2}}\)

752 nas nie interesuje, pozostaje rozpatrzeć resztę:

\(\displaystyle{ (2a-500) \sqrt{2} + a^{2}}\)

Łatwo zauważyć, że aby pozbyć się niewymierności, musi zajśc:

\(\displaystyle{ 2 a = 500}\)

stąd \(\displaystyle{ a = 250}\).

[mich12]

Hmmm, w odpowiedziach jest że a=250...
Edit:
Wymnożyłem to i powinno być tak:
\(\displaystyle{ (2a-500) \sqrt{2} + a^{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 2 a = 500 \Rightarrow a = 250}\)
Teraz się zgadza !

[archimedes]

w 3) szw1710 ma rację - liczby 19 i 23 to liczby pierwsze, a oprócz tego można pomnożyć już tylko przez 1 i 2. Nie mamy żadnych innych dzielników, a jakakolwiek większa liczba daje nam czterocyfrową.

-- 16 wrz 2014, o 15:13 --

Tak jest, machnąłem się w jednym miejscu, już poprawione

[Premislav]

W pierwszym nie ma założenia o wymierności \(\displaystyle{ a}\). Podejrzewam, że to pomyłka w treści, ale wobec tego np. rozwiązania równania kwadratowego \(\displaystyle{ (2a-500) \sqrt{2} + a^{2}=1000}\) też spełniają warunki zadania.
W czwartym: zauważ, że suma cyfr danej liczby daje taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\), jak dana liczba. Zaś reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\) jest taka sama, jak reszta z dzielenia drugiej cyfry przez \(\displaystyle{ 5}\). Wreszcie z czwórką jakoś podobnie. :>
Zapisz dowolną liczbę dwucyfrową jako \(\displaystyle{ 10x+y}\) dla\(\displaystyle{ x,y \in \left{1,2,..9\right}}\)(bo łatwo widać, że wśród jednocyfrowych nie ma rozwiązań) i podstaw do powyższych.

[mich12]

Może jestem tępy, ale nic mi nie dało to wyjaśnienie do zad.4...

[Zahion]

Jedyną liczbą szukaną jest liczba \(\displaystyle{ 59}\)

[Vether]

Przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\), więc ostatnia cyfra jest nieparzysta.
Przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 5}\) daje resztę \(\displaystyle{ 4}\), więc ostatnia cyfra przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 5}\) daje resztę \(\displaystyle{ 4}\), czyli jest to \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ 9}\)... a przecież musi być to cyfra nieparzysta, więc ostatnią cyfrą jest \(\displaystyle{ 9}\).
Szukamy pierwszej cyfry... Liczba przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\), a taką samą resztę przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) daje suma cyfr tej liczby... Jaka może być pierwsza cyfra \(\displaystyle{ x}\) taka, żeby \(\displaystyle{ x+9}\) dawało resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) równą \(\displaystyle{ 2}\)?

[a4karo]

szw1710 cytuję odpowiedź do zadania 3: "\(\displaystyle{ 874 (tylko 19 \cdot 23 \cdot 2)}\)"

Ktoś się pomylił: dzielnikami są \(\displaystyle{ 1,\, 2,\, 19,\, 23,\, 2\cdot 19,\, 2\cdot 23, 19\cdot 23,\, 2\cdot 19\cdot 23}\) więc jest ich 8.

[szw1710]

Może chodziło o właściwe. Ale rzeczywiście - nic nie mówiono o dzielnikach pierwszych, nie uwzględniłem iloczynów

[mich12]

Vether teraz mi się rozjaśniło... Dzięki!
A co do ilości dzielników to rzeczywiście jest ich 8, musi być błąd w treści w takim razie.

Mam jeszcze jedno zadanie.
O trzech liczbach całkowitych wiadomo, ze żadna z nich nie jest podzielna przez 3. Udowodnij że również iloczyn tych liczb nie jest podzielny przez 3.
Pokaż na przykładzie, że podobna własność nie ma miejsca w przypadku podzielności przez 4.

Jak na razie doszedłem do wniosku, że reszta z dzielenia każdej liczby będzie zawsze wynosiła 1 lub 2, prawda?

[yorgin]

Liczba

\(\displaystyle{ a=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot \ldots\cdot p_k^{\alpha_k}}\)

(\(\displaystyle{ p_i}\) - parami różne liczby pierwsze) ma dokładnie

\(\displaystyle{ (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\ldots (\alpha_k+1)}\)

dzielników. Szukamy więc takiej liczyb \(\displaystyle{ a}\), że

\(\displaystyle{ 7=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\ldots (\alpha_k+1)}\).

Teraz widać, że długo nie trzeba szukać.