Jak sprawdzić czy istnieje taka liczba...

[chlopina]

Nudząc się na matematyce w szkole, coś sobie pisałem i przez przypadek wymyśliłem sobie problem którego nie potrafię rozwiązać (o ile da się to zrobić).
Polecenie brzmi:

Rozstrzygnąć czy istnieje taka dodatnia wymierna liczba \(\displaystyle{ \omega}\) , która nie jest całkowita, że liczba \(\displaystyle{ \omega + \omega ^{2}}\) jest całkowita.

[szw1710]

Skoro wymyśliłeś, to spróbuj jednak sam pokombinować. Ale... niech \(\displaystyle{ a}\) będzie całkowite dodatnie (tak musi być w Twoim zadaniu). Więc z równania \(\displaystyle{ w^2+w-a=0}\) mamy \(\displaystyle{ \Delta=1+4a^2>0}\). Mamy więc \(\displaystyle{ w=\frac{\sqrt{1+4a^2}-1}{2}}\). Zanalizuj czy może to być liczba wymierna. Dodatnia oczywiście jest. A drugi pierwiastek tego równania jest ujemny, więc nie wchodzi w grę.

[Qń]

Więc z równania \(\displaystyle{ w^2+w-a=0}\) mamy...

...od razu wniosek, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest całkowite, to każdy wymierny pierwiastek tego równania też jest całkowity (i jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a}\)). Stąd żądana liczba nie istnieje.

Q.

[szw1710]

Tak jest.

[SidCom]

\(\displaystyle{ \Delta=1+4a}\)

[Zahion]

A tutaj już tylko komentarz, że \(\displaystyle{ a = 2m}\) dla pewnego \(\displaystyle{ m}\) całkowitego co wynika z modulo, więc nasza liczba jest na pewno całkowita.

[szw1710]

SidCom, ano, mówiąc po czesku.

[chlopina]

Ok ja już to zrozumiałem, bardziej przez przypomnienie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu. np. dla \(\displaystyle{ 5\omega ^{2} +\omega}\) takie liczby \(\displaystyle{ \omega}\) już istnieją

[musialmi]

Czy istnieje taka potęga naturalna \(\displaystyle{ n>2}\) i liczba \(\displaystyle{ a}\) wymierna i nie całkowita, że \(\displaystyle{ a^{n}+a}\) jest całkowita?

[Ponewor]

Nie.
Niech \(\displaystyle{ a=\frac{p}{q}}\) gdzie rzecz jasna licznik i mianownik są całkowite i niezerowe i oczywiście \(\displaystyle{ \left( p, \ q\right)=1}\).
Załóżmy więc, że całkowita jest liczba \(\displaystyle{ a^{n}+a=\left(\frac{p}{q}\right)^{n}+\frac{p}{q}=\frac{p\left(p^{n-1}+q^{n-1}\right)}{q^{n}} \Rightarrow q^{n-1} \mid q^{n} \mid p\left(p^{n-1}+q^{n-1}\right)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \left(p , \ q\right)=1}\), to \(\displaystyle{ \left(p , \ q^{n-1}\right)=1}\) oraz \(\displaystyle{ \left( p^{n-1}, \ q^{n-1}\right) =1}\). Zatem \(\displaystyle{ q^{n-1}\mid p^{n-1}+q^{n-1} \Leftrightarrow q^{n-1}\mid p^{n-1}}\), co daje nam w rezultacie \(\displaystyle{ \left| q\right| =1}\)

[bakala12]

musialmi, ale tutaj można dokładnie odtworzyć rozumowanie, które zaprezentował Qń.