Hipoteza dotycząca liczb Fermata

[Ponewor]

Proszę o pomoc w zweryfikowaniu następującej hipotezy (albo jakiekolwiek informacje z nią związane, jeśli jest znana):
Dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) i dla każdego całkowitego dodatniego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ p \nmid 2^{2^{n}}+1 \vee p^{2} \nmid 2^{2^{n}}+1}\)

[ordyh]

Wygląda na to, że nie wiadomo

[mol_ksiazkowy]

Zadanie jest w Nierozwiązanych problemach i może takim zostanie...

albo jakiekolwiek informacje z nią związane

W Mała księga wielkich liczb pierwszych P. Ribenboima mamy informację:

Czy każda liczba Fermata jest bezkwadratowa ?
Przypuszczano (np. D. H. Lehmer i A. Schinzel), że istnieje nieskończenie wiele liczb Fermata bezkwadratowych. Nietrudno udowodnić, że jeśli liczba \(\displaystyle{ p^2}\) dzieli liczbę Fermata, to \(\displaystyle{ 2^{p-1} \equiv 1 \ (mod \ p^2)}\). Jeśli więc istnieje nieskończenie wiele liczb Fermata, które mają dzielnik kwadratowy to istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych spełniających tę kongruencję.*
[...] Kongruencja ta jest spełniona bardzo rzadko i nie jest wiadomo czy zachodzi dla nieskończenie wielu liczb pierwszych.
Są to liczby pierwsze Wiefericha.
Jeszcze przed erą komputerów (!) W. Meissner odkryłw 1913 r. a N. G. W. H Beeger w 1922 r. że liczby pierwsze \(\displaystyle{ p= 1093}\) i \(\displaystyle{ p= 3511}\) spełniają tę kongruencję.
[...] R. E. Crandall, K. Dilcher I C. Pomerance sprawdzili, iż te liczby (tj. \(\displaystyle{ p= 1093}\) i \(\displaystyle{ p= 3511}\)) są jedynymi liczbami pierwszymi \(\displaystyle{ p < 4 \cdot 10^{12}}\) spełniającymi kongruencję Wiefericha.
* gdyż \(\displaystyle{ (F_n, F_m)=1}\) gdy \(\displaystyle{ n \neq m}\)