Udowodnić, że nie istnieją liczby

[Dario1]

Udowodnić, że nie istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) spełniające równość:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ x^{2} }+ \frac{1}{xy}+ \frac{1}{ y^{2} } =1}\)

Wymnożyłem obie strony przez \(\displaystyle{ \left( x\right y) ^{2}}\) i dostałem
\(\displaystyle{ x^{2}+xy+ y^{2} = \left( x\right y) ^{2}}\)

W odpowiedziach jest, że prawa strona jest kwadratem pewnej liczby naturalnej, natomiast lewa strona nie rozkłada się na czynniki. Nie do końca przekonuje mnie to, że lewa nie rozkłada się na czynniki. Skąd to wiadomo? Przecież teoretycznie każdą liczbę naturalną można rozłożyć na czynniki czyli iloczyn liczb pierwszych. A skoro można to skąd wiadomo, że rozkład lewej strony jest różny od rozkładu prawej strony?

[mol_ksiazkowy]

albo.. wsk \(\displaystyle{ (x+y)^2 =( xy)^2 + xy}\)

[Qń]

Można też inaczej - jeśli obie liczby \(\displaystyle{ x,y}\) są większe od jedynki, to mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ x^{2} }+ \frac{1}{xy}+ \frac{1}{ y^{2} }\le \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2\cdot 2} + \frac{1}{2^2}=\frac 34 <1}\)
czyli równość nie może zachodzić.

Ale jeśli któraś z liczb, powiedzmy \(\displaystyle{ y}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ x^{2} }+ \frac{1}{xy}+ \frac{1}{ y^{2} }= \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x} + 1>1}\)
czyli i wtedy równość nie może zachodzić.

Q.

[Marcinek665]

Nie przekonuje mnie ta argumentacja. Spróbuj inaczej:

\(\displaystyle{ x^2 + xy + y^2 = (xy)^2}\)
\(\displaystyle{ x^2 + 2xy + y^2 = (xy)^2 + xy}\)
\(\displaystyle{ (x+y)^2 = xy(xy+1)}\)

Pozostaje stwierdzić, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych nigdy nie jest kwadratem liczby naturalnej.

EDIT: Pisałem to, gdy nie było jeszcze dwóch postów wyżej.

[Dario1]

No ok dzięki za odpowiedź. Chyba z tym iloczynem kolejnych liczb naturalnych najlepiej widać.