15.:
Tylko jedna - zero
Załóżmy, że taka liczba istnieje, mamy liczbę postaci \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{s}a_{i} \cdot 10^{i}}\) podzielną przez \(\displaystyle{ i_{n}=\frac{10^{n}-1}{9}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i} \in \left\{ 0, \ 1, \ \ldots , \ 9\right\}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{s}a_{i} <n}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 10^{n} \equiv 1 \pmod{i_{n}}}\), więc możemy na wykładniki przy \(\displaystyle{ 10}\) patrzeć \(\displaystyle{ \mod n}\) i otrzymamy w rezultacie wyrażenie postaci: \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{s}a_{i} \cdot 10^{i}=\sum_{j=0}^{n-1}b_{j} \cdot 10^{j}}\), gdzie \(\displaystyle{ b_{j}= \sum_{i=0, \ n\mid i-j}^{s}a_{i}}\). Mamy więc \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}b_{j}=\sum_{i=0}^{s}a_{i}<n}\).
Zdefiniujmy teraz operację \(\displaystyle{ j}\):
Dla \(\displaystyle{ j< n-1}\) przebiega ona następująco:
\(\displaystyle{ b_{j+1} := b_{j+1}+\left[ \frac{b_{j}}{10}\right] \\
b_{j} := b_{j} - 10\cdot\left[ \frac{b_{j}}{10}\right]}\)
Zaś dla \(\displaystyle{ j=n-1}\):
\(\displaystyle{ b_{0} := b_{0}+\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right] \\
b_{n-1} := b_{n-1} - 10\cdot\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right]}\)
Wykażemy, że wykonywanie dowolnych operacji nie zmienia reszty w dzieleniu przez \(\displaystyle{ i_{n}}\) jaką daje suma \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}b_{j} \cdot 10^{j}}\). W tym celu wystarczy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \left(b_{j+1}+\left[ \frac{b_{j}}{10}\right]\right) \cdot 10^{j+1} + \left(b_{j} - 10\cdot\left[ \frac{b_{j}}{10}\right]\right) \cdot 10^{j}=b_{j+1}\cdot 10^{j+1}+b_{j}\cdot 10^{j}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \left(b_{n-1} - 10\cdot\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right]\right) \cdot 10^{n-1}+\left(b_{0}+\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right] \right) \cdot 10^{0} \equiv_{i_{n}} b_{n-1} \cdot 10^{n-1}+b_{0}\cdot 10^{0}}\)
Zauważmy też, że w wyniku wykonywania operacji, suma \(\displaystyle{ \sum_{j}^{n-1}b_{j}}\) jest nierosnąca, bowiem:
\(\displaystyle{ b_{j}-10\cdot\left[ \frac{b_{j}}{10}\right] +b_{j+1}+\left[ \frac{b_{j}}{10}\right]=b_{j}+b_{j+1}-9\cdot \left[ \frac{b_{j}}{10}\right] \le b_{j}+b_{j+1}}\)
i:
\(\displaystyle{ b_{n-1}-10\cdot\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right] +b_{0}+\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right]=b_{n-1}+b_{0}-9\cdot \left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right] \le b_{n-1}+b_{0}}\)
przy czym zauważmy, że w powyższych nierównościach równości zachodzą dla \(\displaystyle{ b_{j}<10}\).
Wykonujmy teraz kolejno operacje od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n-1}\) i od nowa cyklicznie. Zauważmy, że w wyniku wykonywania operacji współczynniki \(\displaystyle{ b_{j}}\) pozostają nieujemne i całkowite. Zatem suma \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}b_{j} \ge 0}\) i jest niezmiennie całkowita. Jednocześnie w wyniku wykonywania operacji ta suma nierośnie, a zatem po wykonaniu odpowiedniej ilości operacji ta suma musi się już ustalić - przestać maleć (bo nie istnieje nieskończonej długości malejący ciąg liczb całkowitych nieujemnych). Suma ustala się wtedy gdy w naszych nierównościach zachodzą równości, a zatem gdy wszystkie współczynniki są mniejsze od \(\displaystyle{ 10}\), a zatem są zwykłymi cyframi. Wtedy suma \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}b_{j} \cdot 10^{j}}\) staje się zwykła reprezentacją dziesiętną \(\displaystyle{ n}\)-cyfrowej liczby całkowitej podzielnej przez \(\displaystyle{ i_{n}}\) o sumie cyfr mniejszej niż \(\displaystyle{ n}\) (pamiętamy, że operacje nie zwiększały sumy \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}b_{j}}\), a już na starcie była ona mniejsza od \(\displaystyle{ n}\)). Jedyna taka liczba, to liczba składająca się po prostu z \(\displaystyle{ n}\) zer.
Zauważmy jednak, że w wyniku wykonywania operacji liczba \(\displaystyle{ b_{j+1}}\) czy też \(\displaystyle{ b_{0}}\) jest sumą dwóch nieiujemnych składników, czyli jest zerem, gdy zerem była wcześniej oraz gdy zerem była liczba \(\displaystyle{ b_{j}}\) czy też \(\displaystyle{ b_{n-1}}\). To prowadzi nas do wniosku, że wszystkie liczby \(\displaystyle{ b_{j}}\) były od początku zerami, a stąd wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_{i}}\) były zerami i stąd \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{s}a_{i} \cdot 10^{i}=0}\).
Załóżmy, że taka liczba istnieje, mamy liczbę postaci \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{s}a_{i} \cdot 10^{i}}\) podzielną przez \(\displaystyle{ i_{n}=\frac{10^{n}-1}{9}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i} \in \left\{ 0, \ 1, \ \ldots , \ 9\right\}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{s}a_{i} <n}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 10^{n} \equiv 1 \pmod{i_{n}}}\), więc możemy na wykładniki przy \(\displaystyle{ 10}\) patrzeć \(\displaystyle{ \mod n}\) i otrzymamy w rezultacie wyrażenie postaci: \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{s}a_{i} \cdot 10^{i}=\sum_{j=0}^{n-1}b_{j} \cdot 10^{j}}\), gdzie \(\displaystyle{ b_{j}= \sum_{i=0, \ n\mid i-j}^{s}a_{i}}\). Mamy więc \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}b_{j}=\sum_{i=0}^{s}a_{i}<n}\).
Zdefiniujmy teraz operację \(\displaystyle{ j}\):
Dla \(\displaystyle{ j< n-1}\) przebiega ona następująco:
\(\displaystyle{ b_{j+1} := b_{j+1}+\left[ \frac{b_{j}}{10}\right] \\
b_{j} := b_{j} - 10\cdot\left[ \frac{b_{j}}{10}\right]}\)
Zaś dla \(\displaystyle{ j=n-1}\):
\(\displaystyle{ b_{0} := b_{0}+\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right] \\
b_{n-1} := b_{n-1} - 10\cdot\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right]}\)
Wykażemy, że wykonywanie dowolnych operacji nie zmienia reszty w dzieleniu przez \(\displaystyle{ i_{n}}\) jaką daje suma \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}b_{j} \cdot 10^{j}}\). W tym celu wystarczy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \left(b_{j+1}+\left[ \frac{b_{j}}{10}\right]\right) \cdot 10^{j+1} + \left(b_{j} - 10\cdot\left[ \frac{b_{j}}{10}\right]\right) \cdot 10^{j}=b_{j+1}\cdot 10^{j+1}+b_{j}\cdot 10^{j}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \left(b_{n-1} - 10\cdot\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right]\right) \cdot 10^{n-1}+\left(b_{0}+\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right] \right) \cdot 10^{0} \equiv_{i_{n}} b_{n-1} \cdot 10^{n-1}+b_{0}\cdot 10^{0}}\)
Zauważmy też, że w wyniku wykonywania operacji, suma \(\displaystyle{ \sum_{j}^{n-1}b_{j}}\) jest nierosnąca, bowiem:
\(\displaystyle{ b_{j}-10\cdot\left[ \frac{b_{j}}{10}\right] +b_{j+1}+\left[ \frac{b_{j}}{10}\right]=b_{j}+b_{j+1}-9\cdot \left[ \frac{b_{j}}{10}\right] \le b_{j}+b_{j+1}}\)
i:
\(\displaystyle{ b_{n-1}-10\cdot\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right] +b_{0}+\left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right]=b_{n-1}+b_{0}-9\cdot \left[ \frac{b_{n-1}}{10}\right] \le b_{n-1}+b_{0}}\)
przy czym zauważmy, że w powyższych nierównościach równości zachodzą dla \(\displaystyle{ b_{j}<10}\).
Wykonujmy teraz kolejno operacje od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n-1}\) i od nowa cyklicznie. Zauważmy, że w wyniku wykonywania operacji współczynniki \(\displaystyle{ b_{j}}\) pozostają nieujemne i całkowite. Zatem suma \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}b_{j} \ge 0}\) i jest niezmiennie całkowita. Jednocześnie w wyniku wykonywania operacji ta suma nierośnie, a zatem po wykonaniu odpowiedniej ilości operacji ta suma musi się już ustalić - przestać maleć (bo nie istnieje nieskończonej długości malejący ciąg liczb całkowitych nieujemnych). Suma ustala się wtedy gdy w naszych nierównościach zachodzą równości, a zatem gdy wszystkie współczynniki są mniejsze od \(\displaystyle{ 10}\), a zatem są zwykłymi cyframi. Wtedy suma \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}b_{j} \cdot 10^{j}}\) staje się zwykła reprezentacją dziesiętną \(\displaystyle{ n}\)-cyfrowej liczby całkowitej podzielnej przez \(\displaystyle{ i_{n}}\) o sumie cyfr mniejszej niż \(\displaystyle{ n}\) (pamiętamy, że operacje nie zwiększały sumy \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}b_{j}}\), a już na starcie była ona mniejsza od \(\displaystyle{ n}\)). Jedyna taka liczba, to liczba składająca się po prostu z \(\displaystyle{ n}\) zer.
Zauważmy jednak, że w wyniku wykonywania operacji liczba \(\displaystyle{ b_{j+1}}\) czy też \(\displaystyle{ b_{0}}\) jest sumą dwóch nieiujemnych składników, czyli jest zerem, gdy zerem była wcześniej oraz gdy zerem była liczba \(\displaystyle{ b_{j}}\) czy też \(\displaystyle{ b_{n-1}}\). To prowadzi nas do wniosku, że wszystkie liczby \(\displaystyle{ b_{j}}\) były od początku zerami, a stąd wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_{i}}\) były zerami i stąd \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{s}a_{i} \cdot 10^{i}=0}\).