Cześć całkowita sumy

[Zahion]

Witam !
Ma ktoś może jakiś pomysł jak obliczyć część całkowitą \(\displaystyle{ S = \sum_{i=1}^{100} \frac{1}{ \sqrt{i} }}\)
Pozdrawiam.

[pyzol]

Ja bym kombinował całkami ograniczać z dwóch stron. Np wiemy, że:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{100}\frac{dx }{\sqrt{x}}<\sum_{i=1}^{99}\frac{1}{\sqr{i}}}\)
Ale:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{100}\frac{dx }{\sqrt{x}}>\sum_{i=2}^{100}\frac{1}{\sqr{i}}}\)

[Zahion]

Dziękuje za odpowiedz, przy większej ilości czasu spróbuje wgłębić się w temat lewej strony nierówności.

[mol_ksiazkowy]

spróbuje wgłębić się w temat lewej strony nierówności.

por. [MIX] Suplement KMDO,
i zadanie 72...

[Ponewor]

Zahion, z drugiej strony trzeba wymyślić analogiczny lemat, tylko w kluczowym momencie trzeba być nieco ostrożniejszym przy szacowaniu.

Na pocieszenie dodam, że z całą pewnością te lematy można wymyślić bez żadnych całek, nie pamiętam jak, ale nie jest to niewykonalne.