Udowodnij tożsamość

[Leiton]

Mam zadanie, do którego nie wiem za bardzo jak podejść.

Udowodnij, że jeśli tożsamość \(\displaystyle{ a^{4} + 3b^{4} = 2c^{4}}\) jest spełniona, to a,b,c są parzyste.

Próbowałem to rozpisywać na przypadki, ale większości i tak nie potrafiłem pociągnąć do sprzeczności. Jakieś pomysły?

[SidCom]

Twoja metoda jest dobra: 3 przypadki i 3 sprzeczności...(traktuję treść zadania tak, że wszystkie jednocześnie mają być parzyste, dlatego sprawdzam warunek gdy jedna z trzech jest nieparzysta)
Przykład:

\(\displaystyle{ n,m,k \in \{0,1,2,...\}}\)

weźmy \(\displaystyle{ a}\) nieparzyste, pozostałe parzyste.
\(\displaystyle{ a=2n+1, b=2m, c=2k}\)

\(\displaystyle{ (2n+1)^4+3(2m)=(2k)^4 \\
1+8n+24n^2+32n^3+16n^4+6m=16k^4}\)

po lewej nieparzysta, po prawej parzysta \(\displaystyle{ \rightarrow}\) sprzeczność !

tak samo pozostałe przypadki

[mariakow]

dowód nie wprost?

[Leiton]

Pomyślałem, że nie wprost byłby tutaj dobry. Przygotowuje się do egzaminu....gorzej jak dostanę tego typu zadanie z większymi potęgami. Nie wiem czy nie lepsze byłyby tu kongruencje.

[SidCom]

zerknij na dwumian Newtona to podniesiesz \(\displaystyle{ 2n+1}\) do dowolnej potęgi

\(\displaystyle{ (1+x)^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}x^k}\)

[Leiton]

Wiem, że to dwumianem Newtona trzeba. Mam problem w przypadku, gdy a i b są nieparzyste, c - parzyste. Obie strony równania wychodzą parzyste.

[Zahion]

Z równości \(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}=2(c^{4}-b^{4})}\) wynika, że liczby \(\displaystyle{ a, b}\) są tej samej parzystości. Mamy więc jeden przypadek, gdy liczby \(\displaystyle{ a, b}\) są nieparzyste. Lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) ale nie przez \(\displaystyle{ 2^{2}}\). Stąd oczywiście liczba \(\displaystyle{ c}\) musi być innej parzystości niż \(\displaystyle{ b}\), musi więc być parzysta. Ograniczyliśmy się do tego, że \(\displaystyle{ a, b}\) nieparzyste, \(\displaystyle{ c}\) parzyste. Teraz skorzystałbym z równości \(\displaystyle{ a^{4} +3b^{4} = 2c^{4}}\) i podajże lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^{2}}\) ale nie przez \(\displaystyle{ 2^{3}}\), co kończy dowód.