liczba pierwsza, podzielność przez nią

[matinf]

Witam,

\(\displaystyle{ p}\) - liczba pierwsza.
wiadomo, że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ \frac{10^{p+1}-1}{9}}\).
Pokazać, że \(\displaystyle{ p=3}\).

Postępuję tak:
z MTF:
\(\displaystyle{ 10^p \equiv 10\pmod{p}\\
10^{p+1}\equiv 100\pmod{p}\\}\)
\(\displaystyle{ 10^{p+1} - 1\equiv 99\pmod{p}\\}\)
Przypuśćmy przeciwnie, tj że \(\displaystyle{ p>3}\)
Wówczas możemy kongruencję podzielić stronami, przez dziewiątkę, bo na pewno jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ p}\).
Dostaniemy, że \(\displaystyle{ \frac{10^{p+1}-1}{9} \equiv 11\pmod{p}}\), a to sprzeczne, bo założenie było, że przystaje do zera.
A więc \(\displaystyle{ p=3}\).
(wystarczy podstawić liczbę pierwszą dwa lub trzy i zobaczymy, że zachodzi tylko dla trójki).
Czy to jest właściwe podejście ?

[Ponewor]

Co to znaczy?
\(\displaystyle{ p\frac{10^{p+1}-1}{9}}\)

Nie wiem też jak z MTF wynika pierwsze przystawanie.

[matinf]

O jej, poprawię pierwszego posta, bo popełniłem masę błędów przy przepisywaniu.

[Zordon]

jeszcze pozostaje przypadek \(\displaystyle{ p=11}\)

[matinf]

Tak, oczywiście.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ p= 11}\)

Z założenia, mamy że :
\(\displaystyle{ 11| \frac{10^{12}-1}{9}}\)

W tej chwili jestem zdezorientowany. Wychodzi na to, że są dwie liczby, które spelniają ta właność (własność zadaną przez zadanie). Jest to jedenastka i trójka. A trzeba było udowodnić, że to trójka. O co chodzi ?

[Kartezjusz]

Czy\(\displaystyle{ p=11}\) spełnia założenia?

[matinf]

tak

[Kartezjusz]

Jak wygląda \(\displaystyle{ 10^{12}-1}\) ile ma cyfr?

[matinf]

999999999999-- 5 wrz 2014, o 10:32 --Czyli wychodzi na to, że jest błąd w zadaniu, odpowiedzią powinno być albo trzy, albo jedenaście.