liczba pierwsza, podzielność przez nią
-
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
liczba pierwsza, podzielność przez nią
Witam,
\(\displaystyle{ p}\) - liczba pierwsza.
wiadomo, że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ \frac{10^{p+1}-1}{9}}\).
Pokazać, że \(\displaystyle{ p=3}\).
Postępuję tak:
z MTF:
\(\displaystyle{ 10^p \equiv 10\pmod{p}\\
10^{p+1}\equiv 100\pmod{p}\\}\)
\(\displaystyle{ 10^{p+1} - 1\equiv 99\pmod{p}\\}\)
Przypuśćmy przeciwnie, tj że \(\displaystyle{ p>3}\)
Wówczas możemy kongruencję podzielić stronami, przez dziewiątkę, bo na pewno jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ p}\).
Dostaniemy, że \(\displaystyle{ \frac{10^{p+1}-1}{9} \equiv 11\pmod{p}}\), a to sprzeczne, bo założenie było, że przystaje do zera.
A więc \(\displaystyle{ p=3}\).
(wystarczy podstawić liczbę pierwszą dwa lub trzy i zobaczymy, że zachodzi tylko dla trójki).
Czy to jest właściwe podejście ?
\(\displaystyle{ p}\) - liczba pierwsza.
wiadomo, że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ \frac{10^{p+1}-1}{9}}\).
Pokazać, że \(\displaystyle{ p=3}\).
Postępuję tak:
z MTF:
\(\displaystyle{ 10^p \equiv 10\pmod{p}\\
10^{p+1}\equiv 100\pmod{p}\\}\)
\(\displaystyle{ 10^{p+1} - 1\equiv 99\pmod{p}\\}\)
Przypuśćmy przeciwnie, tj że \(\displaystyle{ p>3}\)
Wówczas możemy kongruencję podzielić stronami, przez dziewiątkę, bo na pewno jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ p}\).
Dostaniemy, że \(\displaystyle{ \frac{10^{p+1}-1}{9} \equiv 11\pmod{p}}\), a to sprzeczne, bo założenie było, że przystaje do zera.
A więc \(\displaystyle{ p=3}\).
(wystarczy podstawić liczbę pierwszą dwa lub trzy i zobaczymy, że zachodzi tylko dla trójki).
Czy to jest właściwe podejście ?
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2014, o 01:10 przez matinf, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
liczba pierwsza, podzielność przez nią
Tak, oczywiście.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ p= 11}\)
Z założenia, mamy że :
\(\displaystyle{ 11| \frac{10^{12}-1}{9}}\)
W tej chwili jestem zdezorientowany. Wychodzi na to, że są dwie liczby, które spelniają ta właność (własność zadaną przez zadanie). Jest to jedenastka i trójka. A trzeba było udowodnić, że to trójka. O co chodzi ?
Załóżmy, że \(\displaystyle{ p= 11}\)
Z założenia, mamy że :
\(\displaystyle{ 11| \frac{10^{12}-1}{9}}\)
W tej chwili jestem zdezorientowany. Wychodzi na to, że są dwie liczby, które spelniają ta właność (własność zadaną przez zadanie). Jest to jedenastka i trójka. A trzeba było udowodnić, że to trójka. O co chodzi ?
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
liczba pierwsza, podzielność przez nią
999999999999-- 5 wrz 2014, o 10:32 --Czyli wychodzi na to, że jest błąd w zadaniu, odpowiedzią powinno być albo trzy, albo jedenaście.