Dwie ostatnie liczby dużej potęgi

[lightinside]

Witam,
Proszę o sprawdzenie i dalsze naprowadzenie

\(\displaystyle{ 123^{512}}\)
Liczby są względnie pierwsze więc mogę zastosować Tw Eulera zatem:

\(\displaystyle{ 123^{\gamma \left( 10\right) }\equiv 1\left( \mod 10\right)}\)

\(\displaystyle{ \gamma\left( 10\right) =4}\)

\(\displaystyle{ \left(123^{127} \right) ^4}\)

Co dalej? bo nie zostaje mi żadna reszta którą mogę wyłączyć i napisać załóżmy że x to nasza reszta
\(\displaystyle{ 123^{512} \equiv x \left( \mod 10\right)}\)

reszta znaczy w tym sensie np \(\displaystyle{ 123}\) czy \(\displaystyle{ 123^2}\)

Mogę zrobić \(\displaystyle{ \left(123^{126} \right) ^4 \cdot 123^{4}}\) ale wtedy mam następujący problem, liczba jest za duża aby tak sobie ją wyliczyć. Mogę zrobić \(\displaystyle{ \left( 123^{2}\right) ^2}\) obliczyć taki kwadrat i znowu obliczyć (Dzięki bogu możemy korzystać z kalkulatorów) Ale sądzę że nie o to chodzi...

Wynik \(\displaystyle{ 123^4}\) to \(\displaystyle{ 228886641}\) dwie ostatnie cyfry to \(\displaystyle{ 41}\).

Teraz rozumiem że popełniłam błąd i jak chciałam dwie ostatnie to powinnam zamiast 10 użyć 100, bo w sumie ostatnia to nam wyszła.

Powinnam zapisać tak?:
\(\displaystyle{ 123^{512} \equiv 1 \left( \mod 10\right)}\)

A cały przykład zrobić modulo 100 tylko wtedy nam wychodzi \(\displaystyle{ \left( 123^{40}\right)^{12} \cdot 123^{32}}\) i zostaję z dużą potęgą. Co w takim wypadku zrobić?

[kerajs]

NIe trzeba tu kalkulatora:

\(\displaystyle{ 123 ^{512} mod 100\equiv 23 ^{512} mod 100\equiv529 ^{256} mod 100\equiv29 ^{256} mod 100\equiv841^{128} mod 100\equiv \\
\equiv 41^{128} mod 100\equiv1681 ^{64} mod 100\equiv 81^{64} mod 100\equiv6561^{32} mod 100\equiv61^{32} mod 100\equiv\\
\equiv3721^{16} mod 100\equiv21^{16} mod 100\equiv441^{8} mod 100\equiv41^{8} mod 100\equiv1681^{4} mod 100\equiv\\ \equiv
81^{4} mod 100\equiv
6561^{2} mod 100\equiv61^{2} mod 100\equiv3721 mod 100=21}\)