Równanie z niewiadomymi

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równanie z niewiadomymi

Post autor: Zahion »

Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) równanie \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{n}}\) ma rozwiązanie naturalne.
Zna ktoś jakiś dowód tego twierdzenia, albo potrafi mi wskazać, gdzie mogę go znalezć ?
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Równanie z niewiadomymi

Post autor: Ponewor »

Jeśli rozwiązanie naturalne, to to samo co zwykłe rozwiązanie, to przecież znasz warunek na rozkładalność na sumę dwóch kwadratów, czy nie?
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równanie z niewiadomymi

Post autor: Zahion »

Tak jest, domyśliłem się wieczorem, ale już nie chciało mi się usuwać
Mianowicie dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) wystarczy wziąć \(\displaystyle{ z = 4k+1}\) ? wtedy na pewno istnieją takie liczby \(\displaystyle{ x ,y}\) ?
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Równanie z niewiadomymi

Post autor: Ponewor »

Taka postać \(\displaystyle{ z}\) nie gwarantuje sukcesu - wszak \(\displaystyle{ 21}\) jest tej postaci, ale na sumę dwóch kwadratów go nie rozłożysz w myśl twierdzenia. Ale ogólnie, to liczby pierwsze tej postaci jak \(\displaystyle{ 5}\) są dobre.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równanie z niewiadomymi

Post autor: Zahion »

A jeśli wezmiemy dowolną liczbę pierwszą postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) ? To wtedy w myśl tego twierdzenia jest to prawdą ?
Ponadto czy to zadanie, do którego dałeś link nie jest oczywistym wnioskiem z tego twierdzenia ? Gdyż w rozkładzie na czynniki pierwsze tej liczby występuje liczba pierwsza postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) dla \(\displaystyle{ k = 1}\) ?
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Równanie z niewiadomymi

Post autor: Ponewor »

Tak. Tak. Tak. Tak.
ODPOWIEDZ