Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) równanie \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{n}}\) ma rozwiązanie naturalne.
Zna ktoś jakiś dowód tego twierdzenia, albo potrafi mi wskazać, gdzie mogę go znalezć ?
Równanie z niewiadomymi
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Równanie z niewiadomymi
Jeśli rozwiązanie naturalne, to to samo co zwykłe rozwiązanie, to przecież znasz warunek na rozkładalność na sumę dwóch kwadratów, czy nie?
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Równanie z niewiadomymi
Tak jest, domyśliłem się wieczorem, ale już nie chciało mi się usuwać
Mianowicie dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) wystarczy wziąć \(\displaystyle{ z = 4k+1}\) ? wtedy na pewno istnieją takie liczby \(\displaystyle{ x ,y}\) ?
Mianowicie dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) wystarczy wziąć \(\displaystyle{ z = 4k+1}\) ? wtedy na pewno istnieją takie liczby \(\displaystyle{ x ,y}\) ?
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Równanie z niewiadomymi
Taka postać \(\displaystyle{ z}\) nie gwarantuje sukcesu - wszak \(\displaystyle{ 21}\) jest tej postaci, ale na sumę dwóch kwadratów go nie rozłożysz w myśl twierdzenia. Ale ogólnie, to liczby pierwsze tej postaci jak \(\displaystyle{ 5}\) są dobre.
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Równanie z niewiadomymi
A jeśli wezmiemy dowolną liczbę pierwszą postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) ? To wtedy w myśl tego twierdzenia jest to prawdą ?
Ponadto czy to zadanie, do którego dałeś link nie jest oczywistym wnioskiem z tego twierdzenia ? Gdyż w rozkładzie na czynniki pierwsze tej liczby występuje liczba pierwsza postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) dla \(\displaystyle{ k = 1}\) ?
Ponadto czy to zadanie, do którego dałeś link nie jest oczywistym wnioskiem z tego twierdzenia ? Gdyż w rozkładzie na czynniki pierwsze tej liczby występuje liczba pierwsza postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) dla \(\displaystyle{ k = 1}\) ?