Dalszy problem z twierdzeniem...

[Zahion]

Napisze nowy post, bo problem pojawił się od nowa...
Zadanie : Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b}\) liczba \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}}\) ma co najmniej jeden dzielnik tej postaci.
Od razu można zauważyć, że \(\displaystyle{ 0}\) w tym wypadku nie jest liczbą naturalną, bo istnieje kontrprzykład, który podałem wyżej( liczba \(\displaystyle{ 49}\). Możemy też od razu założyć, że liczba ta jest nieparzysta, bo przecież \(\displaystyle{ 2 = 1^{2}+1^{2}}\). Od razu możemy też wykluczyć, że dzielniki pierwsze tej liczby są postaci \(\displaystyle{ 4k + 1}\), bo wtedy każda taka liczba jest sumą kwadratów dwóch liczb dla \(\displaystyle{ k \in N}\). Możemy więc rozpatrzeć ostatecznie postać iż liczba ta daje się zapisać w postaci \(\displaystyle{ (4k _{1} +3)^{2 \alpha _{1}} \cdot...\cdot(4k _{m}+3) ^{2 \alpha _{m} }}\) gdyż w przeciwnych wypadkach oczywiście mamy dzielniki tej postaci. Mamy więc, że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} = (4k _{1} +3)^{2 \alpha _{1}} \cdot...\cdot(4k _{m}+3) ^{2 \alpha _{m} }}\). Pytanie teraz, jak dowieść, że jeśli zachodzi ta równość to jeden z dzielników pierwszych jest sumą kwadratów dwóch liczb ?
Problem w tym, że nieprzydatne jest tutaj twierdzenie o tym, że dana liczba naturalna jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) występują w potęgach parzystych, gdyż twierdzenie to nie staje się prawdziwe jeśli nie zaliczamy liczby \(\displaystyle{ 0}\) do naturalnych.

[bakala12]

A może tak. Zauważ, że dostałeś równanie:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\)
Mamy Pitagorejską trójkę więc istnieją \(\displaystyle{ m,n \in \mathbb{N}}\), że \(\displaystyle{ c=m^{2}+n^{2}}\).

[Zahion]

Ok czyli liczba \(\displaystyle{ c=(4k _{1}+3)^{ \alpha _{1}} \cdot...\cdot(4k _{m}+3)^{ \alpha _{m}}}\) jest sumą kwadratów. Stąd wynika znów, że liczby \(\displaystyle{ \alpha _{i}}\) muszą być parzyste ?

[bakala12]

Zahion, skoro \(\displaystyle{ c}\) jest sumą kwadratów to albo jest parzyste (wykluczyliśmy to) albo postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) i to już koniec

[Ponewor]

Przede wszystkim problem jest źle sformułowany, bo teraz \(\displaystyle{ 49}\) wcale nie jest kontrprzykładem przy naturalnym zerze, bo ma dzielnik \(\displaystyle{ 0^{2}+1^{2}}\), albo chociaż \(\displaystyle{ 49}\).

I tak ogólnie dla każdego \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}}\) jako dzielnik możemy niezależnie od statusu zera brać \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}}\).

[Zahion]

Edytowałem ale...
Skoro prawdziwe jest twierdzenie (tutaj akurat zaliczamy, że liczba \(\displaystyle{ 0}\) należy do naturalnych w tym twierdzeniu) -
Liczba naturalna jest sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy,
gdy w jej rozkładzie na czynniki pierwsze nie ma żadnej liczby pierwszej postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) w potędze nieparzystej.
Wynika stąd, że równanie \(\displaystyle{ (4k _{1}+3)\cdot...\cdot(4k _{m}+3) = x^{2}+y^{2}}\) nie ma rozwiązania ? Przy liczbach parami różnych.
Jakiś dowód tego faktu ?
1UP
Ale liczba \(\displaystyle{ 1}\) nie jest dzielnikiem pierwszym, poza tym tak samo liczba \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}}\) nie musi być pierwsza, a jak zauważyłeś nie dopisałem w tym temacie "dzielnik pierwszy", ale w problemie jest on zaznaczony, za co przepraszam i dziękuje.
2UP
Tak jak mówisz natomiast jeśli liczby \(\displaystyle{ \alpha _{i}}\) byłyby nieparzyste to takie \(\displaystyle{ c}\) by nie istniało ?


Generalnie chodzi mi o dowód tego twierdzenia

Każda liczba postaci \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b \in N}\) ma dzielnik pierwszy tej postaci.

Autor tego wpisu wyżej zapisał twierdzenie

Liczba naturalna jest sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy,
gdy w jej rozkładzie na czynniki pierwsze nie ma żadnej liczby pierwszej postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) w potędze nieparzystej

W pierwszym twierdzeniu autor zasugerował, że liczby naturalne nie zawierają \(\displaystyle{ 0}\), bo nie działa ono dla liczby \(\displaystyle{ 49=7^{2}+0^{2}}\), natomiast drugie twierdzenie nie działa jeśli w naturalnych nie zawiera się \(\displaystyle{ 0}\), stąd cały problem i jak dowieść 1 ?

[Ponewor]

Generalnie chodzi mi o dowód tego twierdzenia

Każda liczba postaci \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b \in N}\) ma dzielnik pierwszy tej postaci.

Autor tego wpisu wyżej zapisał twierdzenie

Liczba naturalna jest sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy,
gdy w jej rozkładzie na czynniki pierwsze nie ma żadnej liczby pierwszej postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) w potędze nieparzystej

W pierwszym twierdzeniu autor zasugerował, że liczby naturalne nie zawierają \(\displaystyle{ 0}\), bo nie działa ono dla liczby \(\displaystyle{ 49=7^{2}+0^{2}}\), natomiast drugie twierdzenie nie działa jeśli w naturalnych nie zawiera się \(\displaystyle{ 0}\), stąd cały problem i jak dowieść 1 ?

Jest dokładnie jak mówisz, w pierwszym twierdzeniu \(\displaystyle{ 0}\) nie jest naturalne, a drugim jest.

Jak udowodnić pierwsze?
A no słusznie sprowadziłeś zadanie do przypadku \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} = (4k _{1} +3)^{2 \alpha _{1}} \cdot...\cdot(4k _{m}+3) ^{2 \alpha _{m} }}\)
Na mocy twierdzenia 2 wiemy nawet, że takie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) istnieją, chcemy jedynie pokazać, że \(\displaystyle{ ab=0}\).

[Zahion]

Właśnie ...
Dla \(\displaystyle{ k _{1}=3}\) i \(\displaystyle{ \alpha _{1}=1, m=1}\) mamy, że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} = 15^{2}}\) ale przecież \(\displaystyle{ 15^{2}=9^{2}+12^{2}}\) ?

[Ponewor]

Miały być liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\), liczba \(\displaystyle{ 15}\) nią nie jest.

[Zahion]

No tak!
Jakiś hint jak tego dowieść ?

[Ponewor]

Skorzystaj z propozycji bakali12
edit
tej pierwszej, bo drugiej nie rozumiem

Ok czyli liczba \(\displaystyle{ c=(4k _{1}+3)^{ \alpha _{1}} \cdot...\cdot(4k _{m}+3)^{ \alpha _{m}}}\) jest sumą kwadratów. Stąd wynika znów, że liczby \(\displaystyle{ \alpha _{i}}\) muszą być parzyste ?

W zasadzie rozwiązałeś zadanie.

Ukryta treść:    

Dalej już tylko nieskończone schodzenie

Najnaturalniej jednak pokazać w tym zadaniu:
\(\displaystyle{ 4 \mid p+1 \wedge p \mid a^{2}+b^{2} \Rightarrow p\mid a}\)

[Zahion]

Oki dowód w tej sytuacji mam, dziękuje Wam. Natomiast odnośnie nieskończonego schodzenia, to wynika z niego, że nie istnieją takie liczby, tj. \(\displaystyle{ a , b}\) czyli \(\displaystyle{ a=b=0 ?}\). Więc liczby z prawej strony też nie istnieją, czy pokazuje to warunek jaki opisałeś, \(\displaystyle{ ab=0}\) i dlaczego ?
Teraz pytanie z podobnej beczki...
Jak wykazać, że równanie \(\displaystyle{ (4k _{1}+3)\cdot...\cdot(4k _{m}+3) = x^{2}+y^{2}}\) nie ma rozwiązań ? co też uogólnić można na nieparzyste potęgi.

[Ponewor]

Nie, jest trochę inaczej. Gdy założymy, że \(\displaystyle{ ab \neq 0}\), to wówczas z równania \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\) wnosimy, że \(\displaystyle{ c=m^{2}+n^{2}}\) i wówczas również \(\displaystyle{ mn \neq 0}\). I teraz robiąc to nieskończone schodzenie wnosimy, że wykładniki z jakimi nasze liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) wchodzą w rozkład \(\displaystyle{ n}\) dzielą dowolnie duże potęgi dwójki, a zatem musiało być \(\displaystyle{ ab=0}\) i w rezultacie \(\displaystyle{ a=0 \vee b=0}\).

A twierdzenie o którym mówisz i właściwie ogólniej twierdzenie 2. można udowodnić właśnie z lematu który podałem.