MIx zadań

[alchem]

Witam. Mam kilka zada z którymi nie mogę się uporać
1) Czy podana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13}\):
a) \(\displaystyle{ 12^{2018} + 1}\)

2) Czy podana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 37}\):
b) \(\displaystyle{ 6^{2010} + 1}\)

3) Czy liczba \(\displaystyle{ n! \cdot (n+1)!}\) jest kwadratem liczby naturalnej jeżeli \(\displaystyle{ n=80,n=64}\)

4)Czy liczba \(\displaystyle{ n! \cdot (n+1)!}\) jest sześcianem liczby naturalnej jeżeli \(\displaystyle{ n=27}\)

5) Czy liczba \(\displaystyle{ {n \choose 3}}\) jest parzysta dla \(\displaystyle{ n= 10^{100} +5}\)

6) Jak sprawdzić czy liczba jest pierwsza \(\displaystyle{ 10^{33} +9}\)

7) Rozważmy wszystkie pary liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y}\) spelniających nierówość \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} \le 2x}\)
a)\(\displaystyle{ x= 2}\)
b) \(\displaystyle{ y= 1}\)
c) \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} =4}\)
d) \(\displaystyle{ x+y=1+\sqrt{2}}\) lecz nie wiem jak to wyliczyć, pierwsze 3 podpukty obliczyłem znajdując pracy liczb \(\displaystyle{ (2,0), (1,1)}\) lecz co do czwartego nie wiem jak to wykonać, próbowałem ale nie wychodzi

[Zahion]

\(\displaystyle{ 1, 2}\) skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+...+b^{n-1})}\), Zad 6 ze wzoru \(\displaystyle{ a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-...+b^{2n})}\)
3. \(\displaystyle{ (80!)(81!)=(80!)^{2}\cdot9^{2}=(80!\cdot9)^{2}}\). Kolejny przykład \(\displaystyle{ 64!\cdot(65!)=(64!)^{2}\cdot(65)}\) uzasadnij, że ta liczba nie jest kwadratem liczby naturalnej.
Analogicznie próbuj w 4.
7. Nie rozumiem do końca.
5. Rozpisz i pokaż co Ci wychodzi.

[alchem]

w 7 uciąłem kocówkę ;x Ciąg dalszy to: Podać największą możliwą wartość wyrażenia.
Co do piątego wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{(10^{100}+ 3)(10^{100}+ 4)(10^{100}+ 5)}{3!}}\)
Próbowałem wymnażać ostatnie liczby tzn \(\displaystyle{ 3 \cdot4 \cdot 5}\). ale nie wiem czy coś to da.

[Zahion]

Zauważ, że otrzymałeś iloczyn trzech kolejnych liczb, wśród trzech kolejnych liczb jest na pewno jedna podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), więc jedno masz z głowy. Liczba \(\displaystyle{ 10^{100}+5}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\)(i akurat też przez \(\displaystyle{ 3}\)), więc drugie masz z głowy. A co z podzielnością przez \(\displaystyle{ 4 ?}\)

[alchem]

A co z podzielnością przez \(\displaystyle{ 4 ?}\)

Nie rozumiem czemu przez \(\displaystyle{ 4}\) a nie przez \(\displaystyle{ 2}\), zresztą jak mamy 3 kolejne liczby całkowie to zawsze są one podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\) więc to chyba wystarczy do udowodnienia że liczba jest parzysta

[Zahion]

Ahh no tak, nie popatrzyłem na to, że w mianowniku jest \(\displaystyle{ 3!}\) tylko na Twój zapis \(\displaystyle{ 3\cdot4\cdot5}\). Rozumiem, że masz wykazać, iż liczba \(\displaystyle{ \frac{(10^{100}+ 3)(10^{100}+ 4)(10^{100}+ 5)}{3!}}\) jest parzysta ? Jeśli tak to nie masz racji, ponieważ jeśli wykażesz podzielność przez \(\displaystyle{ 6}\) to wykażesz, że ta liczba jest na pewno całkowita ( niekoniecznie parzysta) bo przecież \(\displaystyle{ \frac{42}{6}=7}\). Więc koniec końców musisz wykazać podzielność przez \(\displaystyle{ 4}\), chyba, że mówimy o czymś innym.

[alchem]

Pokręciło mi się, Ty masz rację, liczba: \(\displaystyle{ 10^{100}+4}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\). więc to już wsytarczy aby wykazać że liczba jest parzysta.
Jeszcze mam mały dylemat co do tej podzielności przez \(\displaystyle{ 13 i 37}\)
Nie powinien to być wzór \(\displaystyle{ a^{n}+ b^{n}= a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1}b^0 - a^{n-2}b^1 + a^{n-3}b^2 - ... - a^1b^{n-2} + a^0b^{n-1})}\)?
Bo np do podzielności przez 13 mam 4 podpunkty i podkładając pod ten mój wzór każda jest podzielna przez 13:
\(\displaystyle{ 12^{2018}+1, 12^{2016}+1, 12^{2013}+1, 12^{2010}+1}\) a odpowiedzi do kolejno \(\displaystyle{ N N T N}\) i czy mi się zdaje czy wzór ten \(\displaystyle{ a^{n}+ b^{n}= a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1}b^0 - a^{n-2}b^1 + a^{n-3}b^2 - ... - a^1b^{n-2} + a^0b^{n-1})}\)
można używać tylko do potęg nieparzystych?

[Zahion]

Wzór \(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+...+b^{n-1})}\) możesz stosować dla każdej potęgi, natomiast wzór \(\displaystyle{ a^{n}+ b^{n}= a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1}b^0 - a^{n-2}b^1 + a^{n-3}b^2 - ... - a^1b^{n-2} + a^0b^{n-1})}\) już nie. Przykładowo - \(\displaystyle{ a^{2}+1=(a+1)( ? )}\).
Ten drugi wzór dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) będącego liczbą nieparzystą. Tego typu zadania możesz robić badając reszty z dzielenia, albo po prostu kombinować. Podzielność przez \(\displaystyle{ 13}\) liczby \(\displaystyle{ 12^{2013} + 1}\) potrafisz udowodnić według powyższego wzoru, stąd mamy, że \(\displaystyle{ 13|12^{5}(12^{2013}+1)=12^{2018}+12^{5}=(12^{2018}+1)+(12^{5}-1)}\). Teraz zauważ, że jeśli liczba \(\displaystyle{ 12^{2018}+1}\) byłaby podzielna przez \(\displaystyle{ 13}\) to również liczba \(\displaystyle{ 12^{5}-1}\) musiałaby spełniać tą podzielność, ale przecież łatwo już dowieść , że nie zachodzi podzielność \(\displaystyle{ 13|12^{5}-1}\)

[bakala12]

Nie prościej?
\(\displaystyle{ 12^{2018}+1 \equiv \left( -1\right)^{2018}+1 \equiv 2 \pmod{13} \\
6^{2010}+1=36^{1005}+1=...}\)