Witam,
Udowodnić, że \(\displaystyle{ (n+1)(n+2)...(2n)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^n}\)
\(\displaystyle{ (n+1)(n+2)...(2n) = \frac{(2n)!}{n!}}\)
Łatwo udowodnić jest, że całkowita jest liczba : \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{2^n}}\). Ale ona jeszcze dodatkowo musi był całkowita gdy do mianownika dopiszemy \(\displaystyle{ n!}\). Jak to udowodnić ?
Udowdonić, że liczba jest całkowita
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Udowdonić, że liczba jest całkowita
A próbowałeś indukcją ?
Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) oczywiście prawda. Niech więc \(\displaystyle{ (n+1)(n+2)...(2n)=2^{n}k}\). Do udowodnienia mamy \(\displaystyle{ 2^{n+1}|(n+2)(n+3)...(2n+2)=2(n+1)(n+2)...(2n+1)=2\cdot2^{n}k(2n+1)=2^{n+1}k(2n+1)}\).
Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) oczywiście prawda. Niech więc \(\displaystyle{ (n+1)(n+2)...(2n)=2^{n}k}\). Do udowodnienia mamy \(\displaystyle{ 2^{n+1}|(n+2)(n+3)...(2n+2)=2(n+1)(n+2)...(2n+1)=2\cdot2^{n}k(2n+1)=2^{n+1}k(2n+1)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 268
- Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 82 razy
Udowdonić, że liczba jest całkowita
Można też dedukcyjnie. Wykładnik z jakim dwójka wchodzi do rozkładu na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ (2n)!}\) wynosi \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty }\left[ \frac{2n}{2^k} \right]}\), zaś w przypadku \(\displaystyle{ n!}\) mamy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \left[ \frac{n}{2^k}\right]}\). Zatem w przypadku liczby \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{n!}}\) mamy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty }\left[ \frac{2n}{2^k} \right]-\sum_{k=1}^{ \infty }\left[ \frac{n}{2^k} \right]=n+\sum_{k=2}^{ \infty }\left[ \frac{2n}{2^k} \right]-\sum_{k=1}^{ \infty }\left[ \frac{n}{2^k} \right]=n+\sum_{k=1}^{ \infty }\left[ \frac{n}{2^k} \right]-\sum_{k=1}^{ \infty }\left[ \frac{n}{2^k} \right]=n}\).
Wykazaliśmy nie tylko, że \(\displaystyle{ 2^{n} | \frac{(2n)!}{n!}}\) ale także \(\displaystyle{ 2^{n+1} \nmid \frac{(2n)!}{n!}}\).
Wykazaliśmy nie tylko, że \(\displaystyle{ 2^{n} | \frac{(2n)!}{n!}}\) ale także \(\displaystyle{ 2^{n+1} \nmid \frac{(2n)!}{n!}}\).
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Udowdonić, że liczba jest całkowita
No więcmatinf pisze:[...]
\(\displaystyle{ (n+1)(n+2)...(2n) = \frac{(2n)!}{n!}}\)
[...]
\(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{n!} / 2^n = \frac{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (2n)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2n)} = 1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1) =: (2n-1)!!}\)