Liczby pierwsze

[karolex123]

Posiadam zbiór zadań olimpijskich dla gimnazjalistów i licealistów i chciałbym prosić o wskazówki lub sposób postępowania w niektórych zadaniach.
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\), dla których liczba \(\displaystyle{ 2 ^{p} +3 ^{p}}\) jest również liczbą pierwszą.

[Kaf]

Wskazówka:    

Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą nieparzystą, to liczba \(\displaystyle{ 2^p+3^p}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\)

[karolex123]

Czy mam rozumieć, że nie istnieje liczba \(\displaystyle{ p}\) spełniająca ten warunek?

[a4karo]

@karolex123
Ze wskazówki, którą dostałeś of Kafa (pytanie, czy potrafisz ją udowodnić?) wynika tylko, że dla nieparzystych $p$ Twoej wyrażenie nie jest liczbą pierwszą. Wyciągnij z tego wniosek.

[karolex123]

Owszem, dla \(\displaystyle{ p=2}\), wyrażenie jest liczbą pierwszą, ale jak dowieść, że dla liczb nieparzystych jest ono podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\)? Pierwsze co mi przyszło na myśl to rozpatrywać wśród liczb o różnych resztach z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) (możliwe reszty to \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\)) i wtedy pokazać, że na końcu tego wyrażenia zawsze stoi cyfra \(\displaystyle{ 5}\). Ale czy istnieje inny sposób by tego dowieść? I czy mój sposób byłby ewentualnie poprawny

[a4karo]

Wzory skróconego mnożenia...-- 13 sie 2014, o 11:56 --\(\displaystyle{ =}\) oznacza równanie modulo 5. Dla nieparzystych \(\displaystyle{ p}\) mamy
\(\displaystyle{ 2^p+3^p=2^p+(5-2)^p=2^p-2^p=0}\)

[karolex123]

Szczerze nie bardzo rozumiem..

[a4karo]

Dwumian Newtona zastosuj do wyrażenia, które napisałem