Niebieski Pawłowski- własności liczb

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Strike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 10 sty 2014, o 12:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 10 razy

Niebieski Pawłowski- własności liczb

Post autor: Strike »

Witam natknąłem się na takie zadanie w niebieskiej książce pana Pawłowskiego Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata:
1.30
Udowodnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą to \(\displaystyle{ 2 ^{p}+ 3^{p}}\) nie jest potęgą żadnej liczby naturalnej.
I w rozwiązaniu po paru przekształceniach podane jest \(\displaystyle{ 5\mid 2^{p}+ 3^{p} oraz 5^{2}\nmid 2^{p}+ 3^{p}}\) , natomiast gdy podstawiłem p=5 to dostałem liczbe 275 która jak najbardziej jest podzielna przez 25. Czy ktoś mógłby to sprawdzić w swojej książce?
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

Niebieski Pawłowski- własności liczb

Post autor: Pinionrzek »

Dzieje się tak, ponieważ autor rozpatruje dwa osobne przypadki. Jeżeli \(\displaystyle{ p \neq 5}\) oraz gdy \(\displaystyle{ p=5}\). W obu przypadkach teza zadania jest spełniona, w pierwszym ,dlatego że 5 nie wchodzi w rozkład tej liczby w parzystej potędze, natomiast w drugim, gdyż 275 nie jest kwadratem liczby naturalnej.
ODPOWIEDZ