Udowodnić istnienia nieskonczonej
ilości liczb naturalnych \(\displaystyle{ m, n}\) że \(\displaystyle{ \frac{n+1}{m} + \frac{m+1}{n}}\)
jest całkowita
bmo
Generalnie, na początek załóżmy, że suma naszych ułamków wynosi 3 (tak nam się będzie po prostu łatwiej znajdowało rozwiązania). Skoro suma naszych ułamków wynosi 3, to zachodzi równanie \(\displaystyle{ m^2 + n^2 + m + n - 3mn = 0}\), czyli równanie \(\displaystyle{ m^2 + (1-3n)m + (n^2 + n) = 0}\), które traktujemy jak równanie kwadratowe względem m i dostajemy, że wyróżnik owego równania wynosi \(\displaystyle{ 5(n-1)^2 - 4}\). Zatem, jeśli znajdziemy nieskończenie takich naturalnych n-ów, że wyróżnik jest kwadratem, to mamy zadanie (m wtedy też będzie naturalne, to widać ze wzorów na pierwiastki trójmianu).
Niech teraz \(\displaystyle{ n-1 := t}\). Zauważmy, że nasz wyróżnik jest kwadratem dla t = 1,2,5,13,34...
No to w głowach pokazuje nam się rekurencja \(\displaystyle{ t_{n} = 3t_{n-1} - t_{n-2}}\) i pokazujemy (np. chyba najlepiej przez indukcję), że \(\displaystyle{ 5t_{n}^2 - 4 = (3t_{n} - 2t_{n-1})^2}\)
Zatem nasze t-ny z ciągu są tak fajne, że dla nich nasz wyróżnik jest kwadratem, a to kończy
(mam nadzieję, że teraz bez jaskrawszych błędów ) + pomysł przy znalezieniu rozwiązań z mojego poprzedniego posta oczywiście pochodzi przy założeniu, że nasza suma ułamków wynosi 2
