zadania z niewymiernościa - liczby sprzężone

[Strike]

Oto 2 zadania z którymi nie mogę sobie poradzić:
1.
\(\displaystyle{ \left( 1+ \sqrt{2}+ \sqrt{3} \right)^{n}=q _{n}+ r_{n} \sqrt{2} +s _{n} \sqrt{3}+ t_{n} \sqrt{6}}\) , gdzie \(\displaystyle{ q _{n}, r_{n}, s _{n} i t_{n} \in N}\) . Znajdź granice:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{r_{n}}{q _{n}} \lim_{n \to \infty } \frac{s_{n}}{q _{n}} \lim_{n \to \infty } \frac{t_{n}}{q _{n}}}\)
2. Pokaż że jeśli \(\displaystyle{ \left( 1+ \sqrt{2} \right) ^{100}=c+d \sqrt{2}}\) , gdzie c i d są liczbami naturalnymi , to c i d są względnie pierwsze.

[miodzio1988]

Jakie są dokładnie problemy?

[bakala12]

Oba zadania są z Musztariego, prawda?

Wskazówka do 2.:    

Rozważmy ogólniejszą wersję. Niech \(\displaystyle{ \left( 1+\sqrt{2}\right)^{n}=c_{n}+d_{n}\sqrt{2}}\).
Teraz policzmy \(\displaystyle{ c_{n+1}, d_{n+1}}\) w zależności od \(\displaystyle{ c_{n},d_{n}}\).
Jak? A no tak:
\(\displaystyle{ c_{n+1}+d_{n+1}\sqrt{2}=\left( 1+\sqrt{2}\right)^{n+1}= \left( c_{n}+d_{n}\sqrt{2}\right) \left( 1+\sqrt{2}\right)}\).
Teraz pokazanie, że \(\displaystyle{ NWD\left( c_{n},d_{n}\right)=1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) jest prostą indukcją.

[Strike]

Oba zadania są z Musztariego, prawda?

To się zgadza -- 10 sie 2014, o 12:24 --Coś spróbowałem zrobić i mam prośbę żeby ktoś sprawdził czy moje rozwiązanie jest dobre.

Indukcyjnie

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ c_{2} =3 d _{2}=2}\) więc są to liczby względnie pierwsze. Teraz przy zalozeniu ze \(\displaystyle{ c_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ d_{n}}\) są względnie pierwsze rozpatrujemy \(\displaystyle{ c_{n+1} , d _{n+1}}\) . Mamy
\(\displaystyle{ c_{n+1}+d _{n+1} \sqrt{2}=\left( 1+ \sqrt{2}\right) ^{n+1} =\left( c_{n}+ d_{n} \sqrt{2}\right)\left(1+ \sqrt{2}\right)=c _{n}+ 2d_{n}+ \sqrt{2} \left(c_{n}+d _{n}\right)}\), więc \(\displaystyle{ c_{n+1}= c_{n} +2 d_{n} d_{n+1}= c_{n}+ d_{n}}\)
Teraz oznaczmy \(\displaystyle{ NWD\left( c _{n+1},d_{n+1}\right)=x}\)
\(\displaystyle{ \frac{ c_{n+1} }{ d_{n+1} }= \frac{ax}{bx}}\) ,czyli \(\displaystyle{ \frac{c_{n} +2 d_{n}}{c_{n}+ d_{n} }=\frac{ax}{bx}}\) po czym przekształcając dochodzimy do \(\displaystyle{ \frac{ c_{n} }{ d_{n} }= \frac{x\left( 2a-b\right) }{x\left( b-a\right) }}\) a skoro ułamek ma być nieskracalny to wnioskujemy że x=1 czyli liczby \(\displaystyle{ c_{n+1},d _{n+1}}\) są względnie pierwsze więc na podstawie indukcji twierdzenie zostało uzasadnione

[bakala12]

Generalnie Twoje rozwiązanie jest poprawne, ale ja zrobiłem nieco inaczej. Do linijki
\(\displaystyle{ NWD(c_{n+1},d_{n+1})=x}\)
mam tak samo. Teraz wnioskuje następująco:
\(\displaystyle{ x|c_{n}+2d_{n} \wedge x|c_{n}+d_{n} \Rightarrow x|d_{n}}\)
A stąd i z drugiej podzielności dostajemy \(\displaystyle{ x|c_{n}}\). Stąd \(\displaystyle{ x|NWD(c_{n},d_{n})}\), czyli na mocy założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ x|1 \Rightarrow x=1}\).