Kwadrat liczby całkowitej

[karolex123]

Pokazać, że liczba \(\displaystyle{ 3m+2}\) nie jest kwadratem żadnej liczb całkowitej dla \(\displaystyle{ m \in N}\).

[Lider_M]

Podpowiedz 1:    

Udowodnij, że reszta z dzielenia kwadratu liczby naturalnej przez \(\displaystyle{ 3}\) nie może wynosić dwa.

Podpowiedź 2:    

Każdą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ 3k+r}\), gdzie \(\displaystyle{ r\in\{0,1,2\}}\).

[Igor V]

Załóżmy niewprost że istnieje taka liczba \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\) ,że:
\(\displaystyle{ 3m+2=k^2}\)
Wtedy więc :
\(\displaystyle{ m= \frac{k^2-2}{3}}\)
I teraz najprościej sprawdzić dla różnych postaci liczb całkowitych podzielnych i niepodzielnych przez 3 :\(\displaystyle{ k=3a}\),\(\displaystyle{ k=3a+1}\) i \(\displaystyle{ k=3a+2}\) , \(\displaystyle{ a\in \ZZ}\) (te postacie liczby \(\displaystyle{ k}\) ,obejmują wszystkie liczby całkowite).I zobaczysz że za każdym razem wychodzi \(\displaystyle{ m\not\in \NN}\) ,więc sprzeczność z założeniem.

-- 6 sie 2014, o 15:08 --

Lider_M, trochę mnie wyprzedził

[karolex123]

Hmm... Za bardzo nie wiem jak to udowodnić, ale spróbowałem tak:
Rozpatruję kwadraty liczb:
1) \(\displaystyle{ 3n \rightarrow (3n) ^{2}=9n ^{2}}\)
Reszta z dzielenia przez trzy jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
2) \(\displaystyle{ 3n+1 \rightarrow (3n+1) ^{2}=9n ^{2}+6n+1}\)
Reszta z dzielenia przerz trzy jest równa \(\displaystyle{ 1}\).
3) \(\displaystyle{ 3n+2 \rightarrow (3n+2) ^{2}=9n ^{2}+12n+3+1}\)
Reszta z dzielenia przez trzy wynosi \(\displaystyle{ 1}\).
Wobec tego kwadrat dowolnej liczby całkowitej nie może przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) dawać resztę równą \(\displaystyle{ 2}\), stąd liczba \(\displaystyle{ 3m+2}\) nie może być kwadratem liczb całkowitej.
Tak jest ok?

[Igor V]

Ok