Potęgowanie i rozwinięcie dziesiętne
-
Strike
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 10 sty 2014, o 12:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 10 razy
Potęgowanie i rozwinięcie dziesiętne
Pokaż, że część ułamkowa rozwinięcia dziesiętnego liczby\(\displaystyle{ \left( 5+ \sqrt{26} \right) ^{n}}\)zaczyna się od n jednakowych cyfr.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Potęgowanie i rozwinięcie dziesiętne
Łatwo pokazać, że liczba:
\(\displaystyle{ a_n= (5+\sqrt{26})^n + (5-\sqrt{26})^n}\)
jest całkowita.
(na przykład zauważając, że jest ona rozwiązaniem rekurencji \(\displaystyle{ \begin{cases}
a_0=2\\
a_1= 10\\
a_{n+2}=10a_{n+1}+a_n\end{cases}}\))
Ponadto:
\(\displaystyle{ \left|(5-\sqrt{26})^n \right| = \frac{1}{(5+\sqrt{26})^n}<\frac{1}{10^n}}\)
skąd wniosek, że liczba \(\displaystyle{ (5+\sqrt{26})^n}\) różni się od liczby całkowitej \(\displaystyle{ a_n}\) mniej niż o \(\displaystyle{ \frac{1}{10^n}}\). Stąd zaś już w łatwy sposób wynika teza.
Q.
\(\displaystyle{ a_n= (5+\sqrt{26})^n + (5-\sqrt{26})^n}\)
jest całkowita.
(na przykład zauważając, że jest ona rozwiązaniem rekurencji \(\displaystyle{ \begin{cases}
a_0=2\\
a_1= 10\\
a_{n+2}=10a_{n+1}+a_n\end{cases}}\))
Ponadto:
\(\displaystyle{ \left|(5-\sqrt{26})^n \right| = \frac{1}{(5+\sqrt{26})^n}<\frac{1}{10^n}}\)
skąd wniosek, że liczba \(\displaystyle{ (5+\sqrt{26})^n}\) różni się od liczby całkowitej \(\displaystyle{ a_n}\) mniej niż o \(\displaystyle{ \frac{1}{10^n}}\). Stąd zaś już w łatwy sposób wynika teza.
Q.