złożoność liczby

[Strike]

Udowodnij że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c,d \in N}\) oraz \(\displaystyle{ ab=cd}\) to liczba:\(\displaystyle{ a ^{1984} +b ^{1984} +c ^{1984} +d ^{1984}}\) jest złożona

[Ponewor]

Podpowiedź:    

Wykładnik w tezie nie ma znaczenia. Dlaczego?

[Strike]

Niestety pomimo podpowiedzi dalej nie wiem jak to ugryźć

[szw1710]

Warunek \(\displaystyle{ ab=cd}\) implikuje, że \(\displaystyle{ \frac{a}{c}=\frac{b}{d}}\), co pozwala nam przedstawić sumę \(\displaystyle{ a^n+b^n+c^n+d^n}\) w postaci iloczynu \(\displaystyle{ \frac{(c^n+b^n)(a^n+c^n)}{c^n}}\). Ale stąd jeszcze teza nie wynika. Iloraz może być wymierny, ale nie całkowity, jak np. dla ciągu \(\displaystyle{ (4,9,6,6)}\).

[Hydra147]

Skoro iloczyn \(\displaystyle{ \frac{(c^n+b^n)(a^n+c^n)}{c^n}}\) ma być całkowity i pierwszy, to musi skrócić się z jednym z czynników z licznika. Niestety to stać się nie może, gdyż \(\displaystyle{ a,b \ge 1}\).

[fon_nojman]

Warunek \(\displaystyle{ ab=cd}\) implikuje, że \(\displaystyle{ \frac{a}{c}=\frac{b}{d}}\)

Czeski błąd, \(\displaystyle{ \frac{a}{c}=\frac{d}{b}.}\) Czyli \(\displaystyle{ a^n+b^n+c^n+d^n \neq \frac{(c^n+b^n)(a^n+c^n)}{c^n}.}\)

[szw1710]

Dzięki. Ale postać iloczynowa i tak coś koło tego. Pierwotnie oznaczyłem sobie \(\displaystyle{ (d,b)=\alpha(a,c)}\) i otrzymałem stąd \(\displaystyle{ a^n+b^n+c^n+d^n=(1+\alpha^n)(a^n+c^n)}\). Więc istota sprawy zostaje zachowana, a ja - jak zauważasz - pomyliłem się w szczegółach, w których zawsze tkwi diabeł. Tym niemniej dziękuję za czujność

[fon_nojman]

Przyjrzałem się temu bliżej i widzę, że jednak \(\displaystyle{ a^n+b^n+c^n+d^n = \frac{(c^n+b^n)(a^n+c^n)}{c^n}.}\) Czyli zadanie rozwiązane

[szw1710]

No bo tylko w tym ułamku źle przepisałem (po czesku). Resztę też spisałem z wczorajszych notatek. Ale nie spierałem się, bo prawo do błędu ma każdy. A ja już mogę robić błędy rachunkowe, bo swoje egzaminy dawno zdałem

[Ponewor]

Jak podniesiemy założenie stronami do \(\displaystyle{ 1984}\) potęgi, to zobaczymy, że tak naprawdę, to wystarczy umieć pokazać, że \(\displaystyle{ a+b+c+d}\) jest złożone - nie jest to konieczne, ale bardzo ułatwia myślenie o tym zadaniu według mnie.
Oznaczmy \(\displaystyle{ x=\left(a, \ c\righ)}\) i \(\displaystyle{ y=\left(b, \ d\right)}\), wówczas \(\displaystyle{ a=a_{1}x}\), \(\displaystyle{ c=c_{1}x}\), \(\displaystyle{ b=b_{1}y}\), \(\displaystyle{ d=d_{1}y}\).
Oznaczmy \(\displaystyle{ p=\left(a_{1}, \ d_{1}\right)}\) i \(\displaystyle{ q=\left(b_{1}, \ c_{1}\right)}\), wówczas \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}p}\), \(\displaystyle{ b_{1}=b_{2}q}\), \(\displaystyle{ c_{1}=c_{2}q}\), \(\displaystyle{ d_{1}=d_{2}p}\).

Podzielmy obie strony założenia przez \(\displaystyle{ xypq}\), otrzymamy:
\(\displaystyle{ a_{2}b_{2}=c_{2}d_{2}}\)
Oczywiście obie strony są względnie pierwsze skąd wnosimy, że są równe \(\displaystyle{ 1}\).
A zatem \(\displaystyle{ a=xp}\), \(\displaystyle{ b=yq}\), \(\displaystyle{ c=xq}\), \(\displaystyle{ d=yp}\)

No i teraz w zależności od tego w jakiej postaci pozostawiliśmy tezę mamy:
\(\displaystyle{ a^{1984}+b^{1984}+c^{1984}+d^{1984}=\left(x^{1984}+y^{1984}\right)\left(p^{1984}+q^{1984}\right)}\)
albo
\(\displaystyle{ a+b+c+d=\left(x+y\right)\left(p+q\right)}\)