Podróż pionkiem po szachownicy

[Strike]

Mamy nieograniczoną szachownicę. Przez (a,b) oznaczamy pole położone na przecięciu rzędu o numerze a z kolumną o numerze b. Pionek może z pola (a,b) wykonać ruch na dowolne z ośmiu pól (a+/-m, b+/-n), (a+/-n, b+/-m), gdzie n i m są ustalonymi, różnymi od siebie, liczbami naturalnymi, a znaki (+) i (-) wybiera się dowolnie. Po x krokach pionek powrócił na pole początkowe. Wykaż, że x jest liczbą parzystą.

[Zordon]

Wskazówka: rozważ przypadki
1) \(\displaystyle{ n}\) parzyste \(\displaystyle{ m}\) nieparzyste lub na odwrót
2) obie nieparzyste
3) obie parzyste - ten przypadek można zredukować do dwóch poprzednich

Dla przypadków 1,2 znajdź parametr pionka, który jest parzysty po ruchu o nr. parzystym oraz nieparzysty po nieparzystym

[Strike]

1. Dla pierwszej sytuacji zauważam że pionek podróżuje raz po polu czarnym raz po białym więc musi wykonać parzystą ilość ruchów żeby powrócić na pierwotne pole
2. Jeżeli pionek będzie się poruszał za każdym razem o nieparzystą ilość pól to dopiero po parzystej liczbie ruchów trafi na pole jednakowej parzystości względem (a,b)
3. Tutaj właśnie mam problem i nie wiem jak to ruszyć kiedy m i n są parzyste

[Hydra147]

3. Zauważ, że współrzędne punktu początkowego nie mają znaczenia. Niech będzie to zatem punkt \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\). Możemy więc "przeskalować" nasz układ współrzędnych zmniejszając go czterokrotnie (każdą oś dwukrotnie). Musimy wówczas "przeskalować" również nasze ruchy zastępując \(\displaystyle{ m}\) na \(\displaystyle{ \frac{m}{2}}\) i \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\). Wykonujemy tę operację tak długo, aż co najmniej jeden z tych współczynników będzie nieparzysty. Sprowadziliśmy zatem problem do 1. lub 2. przypadku.