Niewymierność pierwiastka
-
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 10 sty 2014, o 12:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 10 razy
Niewymierność pierwiastka
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt[a-1]{a}}\) nie jest liczbą naturalną dla \(\displaystyle{ a \in N \wedge a \ge 3}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 268
- Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 82 razy
Niewymierność pierwiastka
Wiadomo, że pierwiastek arytmetyczny całkowitego stopnia z dodatniej liczby całkowitej jest albo całkowity, albo niewymierny. Zatem \(\displaystyle{ \sqrt[a-1]{a}=n \Rightarrow a=n^{a-1}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) całkowitego. Jednak, skoro \(\displaystyle{ a \ge 3}\), to \(\displaystyle{ 1^{a-1}<a<2^{a-1}}\), zatem takie \(\displaystyle{ n}\) nie istnieje c.k.d.