Niewymierność pierwiastka

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Strike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 10 sty 2014, o 12:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 10 razy

Niewymierność pierwiastka

Post autor: Strike »

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt[a-1]{a}}\) nie jest liczbą naturalną dla \(\displaystyle{ a \in N \wedge a \ge 3}\)
Hydra147
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 268
Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 82 razy

Niewymierność pierwiastka

Post autor: Hydra147 »

Wiadomo, że pierwiastek arytmetyczny całkowitego stopnia z dodatniej liczby całkowitej jest albo całkowity, albo niewymierny. Zatem \(\displaystyle{ \sqrt[a-1]{a}=n \Rightarrow a=n^{a-1}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) całkowitego. Jednak, skoro \(\displaystyle{ a \ge 3}\), to \(\displaystyle{ 1^{a-1}<a<2^{a-1}}\), zatem takie \(\displaystyle{ n}\) nie istnieje c.k.d.
ODPOWIEDZ