suma kolejnych liczb
-
Strike
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 10 sty 2014, o 12:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 10 razy
suma kolejnych liczb
Wskaż wszystkie liczby naturalne n, których nie można przedstawić w postaci sumy kilku kolejnych liczb naturalnych.
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
suma kolejnych liczb
Nieparzyste się da jako suma dwóch. Dalej uzyskasz
\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2} - \frac{k(k+1)}{2} = x \\
(2n+1)^2 - (2k+1)^2 = 8x \\
(n-k)(n+k+1)=2x}\)
Dalej na przykład tak. Oba nawiasy są przeciwnej parzystości. Więc gdy \(\displaystyle{ x}\) ma nieparzysty dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\), to istnieje dodatnie rozwiązanie całkowite jednego z układów
\(\displaystyle{ \begin{cases} n-k = p \\ n+k+1 = 2x/p \end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin{cases} n-k = 2x/p \\ n+k+1 = p \end{cases}}\)
(zależnie, która z liczb: \(\displaystyle{ p}\), czy \(\displaystyle{ 2x/p}\) jest większa). Wystarczy rozwiązać i sprawdzić, że rozwiązania są całkowite przy zadanych założeniach.
A gdy \(\displaystyle{ x=2^k}\), to jeden z nawiasów musiałby być równy \(\displaystyle{ 1}\) (bo, jak wspomnieliśmy, oba nawiasy są przeciwnej parzystości). Oczywiście będzie to nawias \(\displaystyle{ n-k}\). A to jest sprzeczne z treścią zadania - miało być więcej niż \(\displaystyle{ 1}\) liczba.
\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2} - \frac{k(k+1)}{2} = x \\
(2n+1)^2 - (2k+1)^2 = 8x \\
(n-k)(n+k+1)=2x}\)
Dalej na przykład tak. Oba nawiasy są przeciwnej parzystości. Więc gdy \(\displaystyle{ x}\) ma nieparzysty dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\), to istnieje dodatnie rozwiązanie całkowite jednego z układów
\(\displaystyle{ \begin{cases} n-k = p \\ n+k+1 = 2x/p \end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin{cases} n-k = 2x/p \\ n+k+1 = p \end{cases}}\)
(zależnie, która z liczb: \(\displaystyle{ p}\), czy \(\displaystyle{ 2x/p}\) jest większa). Wystarczy rozwiązać i sprawdzić, że rozwiązania są całkowite przy zadanych założeniach.
A gdy \(\displaystyle{ x=2^k}\), to jeden z nawiasów musiałby być równy \(\displaystyle{ 1}\) (bo, jak wspomnieliśmy, oba nawiasy są przeciwnej parzystości). Oczywiście będzie to nawias \(\displaystyle{ n-k}\). A to jest sprzeczne z treścią zadania - miało być więcej niż \(\displaystyle{ 1}\) liczba.