Silnia - rozkład na czynniki pierwsze

[Elayne]

Kartezjański układ współrzędnych, nieskończony zbiór funkcji kwadratowych \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c \ gdzie \ c=0, \ a =[-1,1] \ b = \ liczba \ całkowita}\) oraz punkty przecięć tych funkcji gdzie x i y są liczbami całkowitymi można potraktować jako graficzny odpowiednik tabliczki mnożenia liczb całkowitych w którym "mnożenia" liczb można wykonać na kilka sposobów. W takim układzie punkty na paraboli mogą być rozmieszczone na dwa sposoby:
a) parabola o nieparzystych odcinkach np: \(\displaystyle{ f(x)= \ -x^{2}+16x}\). Wierzchołek takiej paraboli jest zaznaczony punktem \(\displaystyle{ (8,64)}\). Kolejne punkty znajdują się w odległości co \(\displaystyle{ 1,3,5,7,9,11,\ldots}\) więc mamy punkty:
\(\displaystyle{ (7,63) \ i (9,63) \ - 7 \cdot \ 9 = \ 63 \\
(6,60) \ i (10,60) \ - 6 \cdot 10 \ = \ 60 \\
(5,55) \ i (11,55) \ - 5 \cdot 11 \ = \ 55 \\
(4,48) \ i (12,48) \ - 4 \cdot 12 \ = \ 48 \\
\ldots}\)
b) parabola o parzystych odcinkach np: \(\displaystyle{ f(x)= \ -x^{2}+15x}\) Wierzchołek takiej paraboli nie jest zaznaczony punktem - pierwszymi punktami na tej paraboli są: \(\displaystyle{ (7,56) \ i \ (8,56)}\)
Kolejne punkty znajdują się w odległości co \(\displaystyle{ 2,4,6,8,10,12,\ldots}\) więc mamy punkty:
\(\displaystyle{ (6,54) \ i (9,54) \ - 6 \cdot \ 9 = \ 54 \\
(5,50) \ i (10,50) \ - 5 \cdot 10 \ = \ 50 \\
(4,44) \ i (11,44) \ - 4 \cdot 11 \ = \ 44 \\
(3,36) \ i (12,36) \ - 3 \cdot 12 \ = \ 36 \\
\ldots}\)

Wszystkie funkcje przechodzą przez początek układu współrzędnych tj. przez punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\). Wierzchołki wszystkich funkcji leżą na paraboli należącej do jednej z dwóch funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^{2} \ lub \ f(x)=-x^{2}}\). Wszystkie punkty leżące na parabolach \(\displaystyle{ f(x)=x^{2} \ i \ f(x)=-x^{2}}\) oraz liczby całkowite na osiach OX i OY mają specjalne znaczenie i w zależności od kontekstu mogą przyjmować jedną z dwóch lub trzech wartości. Wierzchołek funkcji i funkcję można określić m.in. na podstawie wartości X na osi OX np. parabola z nieparzystymi odcinkami w I ćwiartce układu:\(\displaystyle{ \ W = \ (X,X^{2}), \ f(x)= \ -x^{2} + bx \ gdzie \ b= \ 2X}\)

Gdy z układu współrzędnych usuniemy funkcje zostawiając tylko punkty to w każdej ćwiartce układu współrzędnych otrzymamy zbiór punktów będący analogią do sita Eratostenesa - punkty znajdują się w miejscach będących wielokrotnością dla danego x. Zamiast wykreślania ze zbioru wielokrotności danej liczby, mamy tutaj zaznaczanie punktem wielokrotności danego x, dla \(\displaystyle{ x=2 \ mamy \ punkty: \ (2,0), \ (2,2), \ (2,4), \ (2,6), \ (2,8),\ldots}\)
Iloczyn kolejnych liczb naturalnych tworzy charakterystyczny układ funkcji i punktów na płaszczyźnie lub układ funkcji, punktów i odcinków w przestrzeni. Na przykład iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych: \(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}\) tworzy na płaszczyźnie taki względny układ punktów: w powyższym układzie współrzędnych zaznaczmy prostokąt określony punktami: \(\displaystyle{ (1,5),(5,5),(1,-5),(5,-5)}\) - punkty znajdujące się w tym zaznaczonym obszarze jest poszukiwanym względny układ punktów. Dlaczego względnym? - bo znamy rozmieszczenie punktów i odległości pomiędzy nimi a nie znamy umiejscowienia tego układu punktów w układzie współrzędnych. W powyższym układzie współrzędnych taki układ punktów występuje nieskończenie wiele razy. Nie wiemy jak te punkty są połączone można to określić gdy układ współrzędnych potraktujemy jako przestrzenny a parabole jako figury geometryczną tworząc analogiczny układ tyle że przestrzenny. Po obliczeniu punktu symetrii dla danego iloczynu liczb można określić położenie dwóch punktów znajdujących się na jednej paraboli w przestrzeni a co za tym idzie możemy policzyć długość tego odcinka. Określenie funkcji w przestrzeni jest dość kłopotliwe ale można to w prosty sposób zrobić w zwykłym układzie gdyż znana jest kolumna i długość odcinka.

W ten sposób nie ma możliwości policzenia iloczynu kolejnych liczb pierwszych bo nie tworzy on stałego wzorca rozmieszczenia punktów.

[a4karo]

To ja jednak pozostanę przy klasycznym sposobie liczenia silni . Tym bardziej, że dla dużych \(\displaystyle{ n}\) kartki nie starczy.

[Elayne]

To nie jest tak że trzeba znać położenie wszystkich punktów by móc to policzyć - wystarczy że znane jest położenie skrajnych punktów po prawej stronie i odległości między nimi.
W podręcznikach czy literaturze nie spotkałem się z takim podejściem do funkcji, więc by nazwać pewne rzeczy nazywam jej po swojemu na zasadzie skojarzeń. W układzie współrzędnych obowiązuje zasada wagowa liczb, korzystając z niej można silnię dla liczb naturalnych parzystych przedstawić w ten sposób:
\(\displaystyle{ 8!=2^{4} \cdot ([10 \cdot 9] \cdot 7 \cdot 4)=40320 \ - \ w \ nawiasie \ kwadratowym \ sprawdzenie \ wartości \ dla \ 6!=2^{3} \cdot 10 \cdot 9 = 720 \\
10!=2^{5} \cdot ([15 \cdot 14 \cdot 12] \cdot 9 \cdot 5)=3628800 \ - \ sprawdzenie \ wartości \ dla \ 8!=2^{4}\cdot 15 \cdot 14 \cdot 12=40320 \\
12!=2^{6} \cdot ([21 \cdot 20 \cdot 18 \cdot 15] \cdot 11 \cdot 6)=479001600 \ - \ sprawdzenie \ wartości \ dla \ 10!=2^{5}\cdot 21 \cdot 20 \cdot 18 \cdot 15 = 3628800 \\}\)
Wydaje się że w ten sposób jest trochę mniej liczenia w porównaniu z tradycyjną metodą mnożenia kolejnych liczb. Istnieje też możliwość policzenia silni za pomocą potęg ale tutaj głównym problemem jest wielkość liczb na których trzeba wykonać działania (z reguły są to liczby mające dwa razy więcej cyfr niż silnia dla danej liczby)