Wykaż, że żadna z liczb nie jest sześcianem

[matmatmm]

Udowodnij, że żadna z liczb postaci \(\displaystyle{ 2^{n}+1}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\NN}\), nie jest sześcianem liczby naturalnej.

[Igor V]

Załóżmy nie wprost że istnieje taka liczba \(\displaystyle{ k\in \NN}\) , że
\(\displaystyle{ 2^{n}+1=k^3}\)
Wtedy :
\(\displaystyle{ 2^{n}=k^3-1}\)
\(\displaystyle{ 2^n=(k-1)(k^2+k+1)}\)
Z racji tego że po lewej stronie mamy tylko potęgi liczby 2 to:
\(\displaystyle{ 2^a=k-1 \wedge 2^b=k^2+k+1}\)
Przy czym \(\displaystyle{ a,b\in \NN}\) oraz \(\displaystyle{ a+b=n}\)
Zauważmy że skoro \(\displaystyle{ 2^a=k-1}\) ,to \(\displaystyle{ k}\) musi być liczbą nieparzystą ,czyli \(\displaystyle{ k=2m+1}\) ,\(\displaystyle{ m\in \NN}\)
Ale wtedy \(\displaystyle{ 2^b=k^2+k+1=(2m+1)^2+2m+1+1=4m^2+6m+3=2(2m^2+3m+1)+1}\)
Czyli sprzeczność bo \(\displaystyle{ 2 ^{b}}\) na pewno jest parzyste.

[matmatmm]

Dzięki za pomoc. I proszę, żeby ktoś sprawdził, czy tak też jest dobrze:

\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego \(\displaystyle{ k^3}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 7}\) daje resztę \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 6}\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego \(\displaystyle{ 2^n}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 7}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 4}\).

Stąd wynika, że \(\displaystyle{ 2^{n}+1}\) daje inną resztę niż \(\displaystyle{ k^3}\).

[Zahion]

Dobrze
Jeszcze inaczej :
\(\displaystyle{ k^{3}-2^{n}=1}\) Mihailescu załatwia sprawę, dla \(\displaystyle{ a = k, x=3, b=2, y=n}\). Przy rozpatrzeniu przypadków banalnych tj. \(\displaystyle{ k=1, n=1}\)