Ilość rozwiązań
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Ilość rozwiązań
Wyznacz wszystkie takie liczby naturalne \(\displaystyle{ k}\), że liczba \(\displaystyle{ 5k^{2}+2k+1}\) jest kwadratem liczby
-
- Użytkownik
- Posty: 268
- Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 82 razy
Ilość rozwiązań
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie taką liczbą całkowitą, że \(\displaystyle{ 5k^2+2k+1=n^2}\) \(\displaystyle{ (1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego. Mamy wówczas \(\displaystyle{ 4k^2=(n+k+1)(n-k-1)}\) czyli \(\displaystyle{ k|n+1}\) lub \(\displaystyle{ k|n-1}\). W pierwszym przypadku istnieje taka liczba całkowita \(\displaystyle{ d}\), że \(\displaystyle{ n+1=dk}\) czyli \(\displaystyle{ n=dk-1}\). Wstawiając to do \(\displaystyle{ (1)}\) za \(\displaystyle{ n}\) otrzymujemy po przekształceniach \(\displaystyle{ k= \frac{2d+2}{d^2-5}}\). Musi być zatem \(\displaystyle{ d^2-5|2d+2}\). Łatwo wykazać, że podzielność ta jest spełniona jedynie dla \(\displaystyle{ d \in \left\{ -3,-2,-1,1,2,3\right\} .}\) Podstawiając te wartości za \(\displaystyle{ d}\) w równaniu \(\displaystyle{ n=dk-1}\), a to następnie za \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ (1)}\) otrzymujemy możliwe rozwiązania \(\displaystyle{ k=-6,-1,0,2}\), które po sprawdzeniu bezpośrednim okazują się być prawdziwe. Analogowo postępujemy w przypadku \(\displaystyle{ k|n-1}\) dostając identyczną rodzinę rozwiązań.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Ilość rozwiązań
Jeśli korzystasz z wynikania:Hydra147 pisze:Mamy wówczas \(\displaystyle{ 4k^2=(n+k+1)(n-k-1)}\) czyli \(\displaystyle{ k|n+1}\) lub \(\displaystyle{ k|n-1}\).
\(\displaystyle{ k | (n+k+1)(n-k-1) \Rightarrow k|(n+k+1)\vee k|(n-k-1)}\)
to jest ono nieprawdziwe. Kontrprzykład: \(\displaystyle{ k=15, n=26}\).
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 268
- Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 82 razy
Ilość rozwiązań
Hmm faktycznie, para \(\displaystyle{ (k,n)=(15,34)}\) również spełnia to równanie, a jest kontrprzykładem dla tej implikacji. W takim razie problem otwarty.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Ilość rozwiązań
A skąd to zadanko? Nakreślę szkic, bez szczegółów. O ile nie u mnie jakiejś luki w rozumowaniu, to powinno tu być nieskończenie wiele rozwiązań. Takie równania są bardzo podobne do równania Pella, tak czy siak odsyłam Cię tutaj, warto się nauczyć
lub do ogólniejszej wersji, ale bez dowodówOgraniczę się do pewnej klasy rozwiązań, wśród których już będziemy mieli nieskończenie wiele par.
\(\displaystyle{ 5k^2 + 2k + 1 = n^2 \\ (5k+1)^2 + 4 = 5n^2 \\ 2a=5k+1 \\ 2b=n \\ a^2 - 5b^2 = -1}\)
a takie rzeczy już są opisane na powyższej stronie. Musisz na końcu sprawdzić, że rzeczywiście jest wśród tych rozwiązań nieskończenie wiele takich, że \(\displaystyle{ k=(2a-1)/5}\) jest liczbą naturalną, co pewnie Ci się uda, jeśli zbudujesz odpowiednią rekurencję na rozwiązania tego ostatniego równania.
Kod: Zaznacz cały
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon19/mon1911.pdf
Kod: Zaznacz cały
http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
\(\displaystyle{ 5k^2 + 2k + 1 = n^2 \\ (5k+1)^2 + 4 = 5n^2 \\ 2a=5k+1 \\ 2b=n \\ a^2 - 5b^2 = -1}\)
a takie rzeczy już są opisane na powyższej stronie. Musisz na końcu sprawdzić, że rzeczywiście jest wśród tych rozwiązań nieskończenie wiele takich, że \(\displaystyle{ k=(2a-1)/5}\) jest liczbą naturalną, co pewnie Ci się uda, jeśli zbudujesz odpowiednią rekurencję na rozwiązania tego ostatniego równania.