Ilość rozwiązań

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Ilość rozwiązań

Post autor: Zahion »

Wyznacz wszystkie takie liczby naturalne \(\displaystyle{ k}\), że liczba \(\displaystyle{ 5k^{2}+2k+1}\) jest kwadratem liczby
Hydra147
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 268
Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 82 razy

Ilość rozwiązań

Post autor: Hydra147 »

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie taką liczbą całkowitą, że \(\displaystyle{ 5k^2+2k+1=n^2}\) \(\displaystyle{ (1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego. Mamy wówczas \(\displaystyle{ 4k^2=(n+k+1)(n-k-1)}\) czyli \(\displaystyle{ k|n+1}\) lub \(\displaystyle{ k|n-1}\). W pierwszym przypadku istnieje taka liczba całkowita \(\displaystyle{ d}\), że \(\displaystyle{ n+1=dk}\) czyli \(\displaystyle{ n=dk-1}\). Wstawiając to do \(\displaystyle{ (1)}\) za \(\displaystyle{ n}\) otrzymujemy po przekształceniach \(\displaystyle{ k= \frac{2d+2}{d^2-5}}\). Musi być zatem \(\displaystyle{ d^2-5|2d+2}\). Łatwo wykazać, że podzielność ta jest spełniona jedynie dla \(\displaystyle{ d \in \left\{ -3,-2,-1,1,2,3\right\} .}\) Podstawiając te wartości za \(\displaystyle{ d}\) w równaniu \(\displaystyle{ n=dk-1}\), a to następnie za \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ (1)}\) otrzymujemy możliwe rozwiązania \(\displaystyle{ k=-6,-1,0,2}\), które po sprawdzeniu bezpośrednim okazują się być prawdziwe. Analogowo postępujemy w przypadku \(\displaystyle{ k|n-1}\) dostając identyczną rodzinę rozwiązań.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Ilość rozwiązań

Post autor: Zahion »

Bardzo ciekawe i fajne rozwiązanie, dziękuje
Hydra147
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 268
Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 82 razy

Ilość rozwiązań

Post autor: Hydra147 »

Nie ma problemu .
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Ilość rozwiązań

Post autor: »

Hydra147 pisze:Mamy wówczas \(\displaystyle{ 4k^2=(n+k+1)(n-k-1)}\) czyli \(\displaystyle{ k|n+1}\) lub \(\displaystyle{ k|n-1}\).
Jeśli korzystasz z wynikania:
\(\displaystyle{ k | (n+k+1)(n-k-1) \Rightarrow k|(n+k+1)\vee k|(n-k-1)}\)
to jest ono nieprawdziwe. Kontrprzykład: \(\displaystyle{ k=15, n=26}\).

Q.
Hydra147
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 268
Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 82 razy

Ilość rozwiązań

Post autor: Hydra147 »

Hmm faktycznie, para \(\displaystyle{ (k,n)=(15,34)}\) również spełnia to równanie, a jest kontrprzykładem dla tej implikacji. W takim razie problem otwarty.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Ilość rozwiązań

Post autor: Zahion »

A było tak pięknie !!!
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Ilość rozwiązań

Post autor: Sylwek »

A skąd to zadanko? Nakreślę szkic, bez szczegółów. O ile nie u mnie jakiejś luki w rozumowaniu, to powinno tu być nieskończenie wiele rozwiązań. Takie równania są bardzo podobne do równania Pella, tak czy siak odsyłam Cię tutaj, warto się nauczyć

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon19/mon1911.pdf
lub do ogólniejszej wersji, ale bez dowodów

Kod: Zaznacz cały

http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
Ograniczę się do pewnej klasy rozwiązań, wśród których już będziemy mieli nieskończenie wiele par.
\(\displaystyle{ 5k^2 + 2k + 1 = n^2 \\ (5k+1)^2 + 4 = 5n^2 \\ 2a=5k+1 \\ 2b=n \\ a^2 - 5b^2 = -1}\)
a takie rzeczy już są opisane na powyższej stronie. Musisz na końcu sprawdzić, że rzeczywiście jest wśród tych rozwiązań nieskończenie wiele takich, że \(\displaystyle{ k=(2a-1)/5}\) jest liczbą naturalną, co pewnie Ci się uda, jeśli zbudujesz odpowiednią rekurencję na rozwiązania tego ostatniego równania.
ODPOWIEDZ