podzielność przez 6

[Strike]

Niech n>3 będzie liczbą naturalną i niech \(\displaystyle{ 2 ^{n}=10a _{n} + b_{n}}\) , gdzie an,bn są liczbami naturalnymi przy czym \(\displaystyle{ b_{n}<10}\). Wykaż że liczba \(\displaystyle{ a_{n}\cdot b _{n}}\) jest podzielna przez 6

[Zahion]

\(\displaystyle{ 2^{n}-10a _{n}=b _{n}}\). Możliwe wartości cyfry jedności liczby po lewej stronie to możliwe cyfry jedności liczby \(\displaystyle{ 2^{n}}\) a są to kolejno \(\displaystyle{ 2,4,6,8}\). Przypadek \(\displaystyle{ b _{n}=6}\) nie potrzebuje rozpatrywania. Wystarczy dowieść, że dla \(\displaystyle{ b _{n}=2 \vee 4 \vee 8}\) liczba \(\displaystyle{ a _{n}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). Mamy więc, że \(\displaystyle{ 10a _{n}=2^{n} - b _{n}}\) Dla \(\displaystyle{ b _{n}=2}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 5 a_{n}=2^{n-1}-1}\) Z modulo \(\displaystyle{ 5}\) mamy, że \(\displaystyle{ n-1=4k}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ k}\) czyli \(\displaystyle{ 5 a_{n}=2^{4k}-1}\). Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ 2^{4k}-1=2^{2^(2k)} - 1=(2^{2}-1)(2^{2k-2}+...+1)=3(2^{2k-2}+...+1)}\) Otrzymujemy więc podzielność \(\displaystyle{ a _{n}}\) przez \(\displaystyle{ 3}\). Dla \(\displaystyle{ b_{n}=4}\) mamy sytuacje \(\displaystyle{ 5a _{n}=2^{n-1}-2}\). Co dowodzimy analogicznie jak w przypadku \(\displaystyle{ b_{n}=8}\). Wystarczy tutaj jeszcze podstawić w drugim przypadku \(\displaystyle{ a _{n}=2m}\) i trzecim \(\displaystyle{ a _{n}=4m}\) dochodząc do pierwszego przypadku, który opisałem.