Udowodnić istnienie

[matinf]

Witam,
Udowodnić istnienie \(\displaystyle{ 2011}\) kolejnych liczb naturalnych takich, że każda z nich jest podzielna przez sześcian liczby naturalnej.

I będziemy się chcieli oprzeć o tw. Chińskie.

Start:

Weźmy taki ciąg liczb pierwszych:
\(\displaystyle{ (p_1, p_2, p_3,..., p_{2011}) = (2,3,5,....,)}\)
I teraz ciąg liczb, który my rozważymy to:

\(\displaystyle{ p_1^3k_1, p_2^3k_2, p_3^3k_3,....,p_{2011}^3k_{2011}}\)
Każda z tych liczb jest podzielna przez sześcian, muszą być jeszcze kolejne, tzn:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
p_2^3k_2 - p_1^3k_1 = 1 \\
p_3^3k_3 - p_2^3k_2 = 1 \\
............\\
p_{2011}^3k_{2011}- p_{2010}^3k_{2010}= 1
\end{cases}}\)
Gdybyśmy teraz potrafili wyznaczyć \(\displaystyle{ k_1}\) to reszta też pójdzie. Bo wówczas z pierwszego równania znajdziemy \(\displaystyle{ k_2}\). I tak dalej pójdzie.
I teraz próba wyznaczenia \(\displaystyle{ k_1}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}
p_1^3k_1 \equiv -1 (\mod\ p_2^3) \\
p_1^3k_1 \equiv -2 (\mod\ p_3^3) \\
............\\
p_1^3k_1 \equiv -2012 (\mod\ p_{2011}^3) \\
\end{cases}}\)

Chińskie twierdzenie zagwarantuje istnienie rozwiązania tego ukladu. Ten układ bierze się właśnie z tego pierwszego układu. A skoro istnieje takie \(\displaystyle{ k_1}\) to reszta też się uda.

I o co mi chodzi. O ocenę tego, i podstawowa rzecz: Czy te rozwiązania muszą być naturalne?

[Ponewor]

To nie zadziała, otrzymasz rozwiązanie \(\displaystyle{ x}\), ale nie będzie ono musiało być postaci \(\displaystyle{ p_{1}^{3}k_{1}}\).
Ale gdybyś tylko dodał jeszcze jedno równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}n \equiv 0 \pmod{p_{1}^{3}} \\ n \equiv -1 (\mod\ p_2^3) \\ n \equiv -2 (\mod\ p_3^3) \\ \ldots\\ n \equiv -2012 (\mod\ p_{2011}^3) \\ \end{cases}}\)
to byłoby super, za bardzo skomplikowałeś.

[matinf]

Dzięki. Rozumiem to tak:
Tzn po prostu należy wzbogacić ten układ o tylko jedno równanie, tzn liczba n będzie pierwszą liczbą w naszym ciągu.
Każda kolejna będzie sześcianem kolejnej liczby naturalnej.

Jeszcze jedno. Skąd pewność, że ta liczba będzie dodatnia ?

[bakala12]

Każda kolejna będzie sześcianem kolejnej liczby naturalnej.

Będzie podzielna przez sześcian liczby pierwszej.

Jeszcze jedno. Skąd pewność, że ta liczba będzie dodatnia ?

Po pierwsze rozwiązanie jest całkowite. Ale rozwiązań jest nieskończenie wiele, różnią się one o wielokrotność \(\displaystyle{ M=p_{1}^{3}p_{2}^{3}\dots p_{2011}^{3}}\). Chińskie twierdzenie o resztach mówi, że w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,M\right]}\) jest dokładnie jedno rozwiązanie. Więc o to że jest rozwiązanie dodatnie nie ma się co martwić.

[matinf]

Będzie podzielna przez sześcian liczby pierwszej.

Tak, pomyliłem się.

Ok.