wnioskowanie na temat kongruencji

[matinf]

Witam,

O liczbie naturalnej wiadomo tyle:

\(\displaystyle{ n \equiv_3 1}\)
No i po prostu tylko tyle wiadomo.
I ktoś teraz wyciąga wniosek, że skoro tak, to można powiedzieć, że \(\displaystyle{ n}\) przy dzieleniu przez dziewięć daje resztę:
1, 4 lub 7.

Nie wiem jakim cudem wyciąga wniosek.

[squared]

Dla \(\displaystyle{ n \equiv_9 0,n \equiv_9 2, n \equiv_9 3, n \equiv_9 5, n \equiv_9 6, n \equiv_9 8}\), możesz znaleźć konkretne liczby, że wtedy już \(\displaystyle{ \neg (n \equiv_3 1)}\). Zresztą to wynika z poniższych rozważań.

W wielu zadaniach wystarczy sobie wstawić przykładowe liczby i wszystko widać, potem uogólnić, tak jest tutaj.

No to weźmy
\(\displaystyle{ n \equiv_3 1 \\}\)
\(\displaystyle{ n=3k+1 \ \ k\in\NN\\
k=0 \rightarrow n=1 \rightarrow n=1\mod 9 \\
k=1 \rightarrow n=4 \rightarrow n=4\mod 9 \\
k=2 \rightarrow n=7 \rightarrow n=7\mod 9 \\
k=3 \rightarrow n=10 \rightarrow n=1\mod 9 \\
k=4 \rightarrow n=13 \rightarrow n=4\mod 9 \\
k=5 \rightarrow n=16 \rightarrow n=7\mod 9 \\
k=6 \rightarrow n=19 \rightarrow n=1\mod 9 \\}\)
itd.

\(\displaystyle{ (1) \ \ k=3a \ \ a \in \NN \\
n=3(3a)+1=9a+1 \Rightarrow n=1\mod 9 \\
(2) \ \ k=3a+1 \ \ a \in \NN \\
n=3(3a+1)+1=9a+3+1=4 \Rightarrow n=4\mod 9\\
(3) \ \ k=3a+2 \ \ a \in \NN \\
n=3(3a+2)+1=9a+6+1=9a+7 \Rightarrow n=7\mod 9\\}\)
Co kończy to zadanie.

[Hydra147]

Może krócej:
Nasza liczba jest postaci \(\displaystyle{ n=3k+1}\). \(\displaystyle{ k}\) z kolei może być postaci \(\displaystyle{ 3l}\), \(\displaystyle{ 3l+1}\) lub \(\displaystyle{ 3l+2}\). Czyli \(\displaystyle{ n}\) może być postaci \(\displaystyle{ 9l+1}\), \(\displaystyle{ 9l+4}\) lub \(\displaystyle{ 9l+7}\).
Jest też inny dowód. Mianowicie niech \(\displaystyle{ r}\) będzie resztą z dzielenia liczby \(\displaystyle{ k}\) przez 9. Mamy zatem \(\displaystyle{ k=9d+r=3 \cdot 3d +r\equiv r \pmod{3}}\). Skoro \(\displaystyle{ k\equiv 1 \pmod{3}}\) to \(\displaystyle{ r\equiv 1 \pmod{3}}\). \(\displaystyle{ r<9}\) zatem \(\displaystyle{ r \in { 1,4,7 }}\).

[squared]

Może krócej:
Nasza liczba jest postaci \(\displaystyle{ n=3k+1}\). \(\displaystyle{ k}\) z kolei może być postaci \(\displaystyle{ 3l}\), \(\displaystyle{ 3l+1}\) lub \(\displaystyle{ 3l+2}\). Czyli \(\displaystyle{ n}\) może być postaci \(\displaystyle{ 9l+1}\), \(\displaystyle{ 9l+4}\) lub \(\displaystyle{ 9l+7}\).

To jest dokładnie to co napisałem wcześniej..., tylko, że poprzedziłem to obszernym komentarzem, jak dojść do tego, nie widząc nic w tym zadaniu