udowodnij, że liczba jest złożona.

[AndrzejK]

Udowodnij, że każda liczba postaci \(\displaystyle{ \underbrace{11...1}_{n}2\underbrace{11...1}_{n}}\) są złożone

Prosiłbym o jakąś podpowiedź bo nawet nie wiem jak mam zacząć to zadanie. Na razie wpadłem na coś takiego, ale to nic chyba mi nie daje...

\(\displaystyle{ \underbrace{11...1}_{n} \cdot 10^{n+1} + \underbrace{11...1}_{n} \cdot 1 +2 \cdot 10^n = \underbrace{11...1}_{n}(10^{n+1} + 1)+2 \cdot 10^n}\)

[Lider_M]

\(\displaystyle{ 11...1=\frac{1}{9}\cdot 99...9=\frac{1}{9}(10^n-1)}\), powinno pomóc.

[fon_nojman]

Dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych liczba \(\displaystyle{ \underbrace{11...1}_{n}2\underbrace{11...1}_{n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11:}\)

\(\displaystyle{ \underbrace{11...1}_{n}2\underbrace{11...1}_{n}=11+11\cdot 10^2+11\cdot 10^4+\ldots+11\cdot 10^{2k-2}+121\cdot 10^{2k}+11\cdot 10^{2k+3}+11\cdot 10^{2k+5}+\ldots+11\cdot 10^{4k+1},}\)
gdzie \(\displaystyle{ n=2k+1.}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ 121=11\cdot 11\\
\\
11211=111\cdot 101\\
\\
1112111=1111\cdot 1001\\
\\
\ldots}\)

Wnioski?

[AndrzejK]

\(\displaystyle{ 11...1=\frac{1}{9}\cdot 99...9=\frac{1}{9}(10^n-1)}\), powinno pomóc.

Idąc tym tropem otrzymuję postać
\(\displaystyle{ \frac{1}{9}(10^{n+1}-1)(10^n+1)}\)
Z pierwszego iloczynu po przemnożeniu wychodzi liczba całkowita (bo drugi czynnik jest podzielny przez \(\displaystyle{ 9}\)). Wówczas mamy iloczyn dwóch liczb całkowitych, stąd wynika teza.

Czy to byłoby poprawne rozwiązanie?

[Lider_M]

Tak, w porządku.

[AndrzejK]

W takim razie bardzo dziękuję za pomoc.