z zasady ekstremum
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
z zasady ekstremum
Rozważmy równanie diofantyczne \(\displaystyle{ x^{2}=2y^{2}}\). Załóżmy, że ma ono nietrywialne rozwiązania. Oczywiście jeśli ma nietrywialne rozwiązania, to ma ono rozwiązania dodatnie - pary dodatnich liczb. Spośród nich obierzmy to o najmniejszym \(\displaystyle{ x}\) - niech będzie to para \(\displaystyle{ \left(p, \ q\right)}\). Możemy zauważyć, że \(\displaystyle{ p>q}\). Łatwo dostrzec, że \(\displaystyle{ p}\) jest parzyste, a zatem \(\displaystyle{ p=2r}\). Zauważmy również, że para \(\displaystyle{ \left(q, \ r\right)}\) jest rozwiązaniem tego równania, co daje sprzeczność z wyborem pary \(\displaystyle{ \left(p, \ q\right)}\) jako pary o najmniejszym \(\displaystyle{ x}\). Wobec tego jedynym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^{2}=2y^{2}}\) jest para \(\displaystyle{ \left(0, \ 0\right)}\). Zatem równanie diofantyczne \(\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{x}{y}}\) nie ma rozwiązań co kończy dowód.